月明中讲复变函数（一）

不知道复变函数有什么用？知道黎曼猜想吗？如果想看懂这一猜想，需要先懂复变函数.

复变函数（一）

数学长征，月明中

我们知道，在解实系数一元二次方程

$ax^2+bx+c=0$ $(a \ne 0)$

时，如果判别式 $b^2-4ac<0$ ，就会遇到负数开平方的问题. 最简单的一个例子，是在解方程

$x^2+1=0$

时，就会遇到$-1$ 开平方的问题.

十六世纪中叶,意大利卡尔丹(Cardan,1545)在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想，他把40看作 $5+\sqrt{-15}$与$5-\sqrt{-15}$ 的乘积，然而这只不过是一种纯形式的表示而已.当时，谁也说不上这样表示究竟有什么好处.

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是,就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.但最初，由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的「虚数」. 直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变.另外的原因，是由于这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故.

关于复数理论最系统的叙述,是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的. 他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号「i」作为虚数的单位，也是他首创的，此后，复数才被人们广泛承认和使用.

在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元 $n$ 次方程

$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+$ $\cdots+a_{n-1} x+a_n=0$ $(a_0 \ne 0)$

其中系数$a_0$、$a_1$ 、$\cdots$ 、$a_n$ 都是复数.其在复数域内恒有解，这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数理论来证明，是非常简洁的.又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内，我们就可以定义负数的对数.

在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weier-strass)的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用.

二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理.弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用.并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟保形变换等.另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型.

复变函数研究的中心对象是所谓解析函数,因此,复变函数论又称为解析函数论，简称函数论.