250个数学难题：2

超紧基数典型内模型问题 

The Problem of Canonical Inner Models of Supercompact Cardinals 

集合论的内模型 M, 是在集合论体系下确切定义出来的一个含有全部序数的 传递类, 并且集合论公理体系 ZF 中的每一条公理 σ 相对于 M 的解释 σ^M, 都是 一条 ZF 中的定理. 

为了解决一般连续统假设和选择公理的相对和谐性, 戈德尔 (G¨odel) 于 1938 年^[3,4] 定义了第一个 ZF 的内模型 L, 由全体可构造集组成的类. 戈德尔证明了选 择公理和一般连续统假设在 L 中的解释成立, 从而证明了选择公理和一般连续统 假设同集合论体系 ZF 的相对和谐性或者相对无矛盾性. 

戈德尔的内模型有很多良好的性质, 可以被用来解决许多问题的解的相对和 谐性. 但是, 因为 L 是一个最基本的内模型, 它容纳不了高阶大基数的存在. 斯科 特 (Scott) 于 1961 年^[8] 证明了如果存在一个可测基数, 那么该基数上的非平凡规 范测度都不在 L 之中. 索洛韦 (Solovay)^[9] 因此定义了由相对于一个非平凡规范测 度 U 的可构造集组成的内模型 L[U]. 在这个内模型中, 存在一个非平凡规范测度 U ^∗ = U ∩ L[U], 并且 L[U ^∗ ] = L[U]. 后来人们发现 L[U] 中有很多类似于 L 的性 质 (见文献 [9]), 比如有很好的整体秩序 (从而导出选择公理), 一般连续统假设成 立, 等等. 

在探索可能的高阶无穷存在性原理的过程中, 索洛韦^[10] 引入了可测基数的一 个非常自然的强化性定义延拓：称一个不可数正则基数 κ 是一个超紧基数当且仅 当对于任何一个大于等于 $\kappa$ 的基数 λ, 都存在一个满足如下条件的实质嵌入映射$j$ : V → M :

 (1) M 是一个内模型;

 (2) $\kappa$ 是第一个满足不等式 $\lambda$ < $j(x)$ 的序数解;

 (3) 如果 $f$ 是一个从 $\lambda$ 到 M 的映射, 那么 $f$ ∈ M.

题目中所陈述的超紧基数典型内模型问题可以表述成如下目标规划：

超紧基数典型内模型目标规划 构造一个容纳一个超紧基数并能够在其中进 行精细结构分析的典型内模型. 

这一目标规划据说是由索洛韦和 Mitchell 等人于大约 35 年前提出的 (参见文 献 [2]). 在这一目标规划的驱动之下, 过去 30 多年里, 经过 Mitchell^[6,7], Dodd 和 Jensen^[1]、Martin^[5]、Steel^[5,7,11]、Neeman、以及 Woodin 等人的不懈努力, 大基数内模型研究过程取得很好的发展. 但是, 据目前的情形来看, 离这一目标规划的完 全实现似乎还有很长的路要走.

参 考 文 献

[1] Dodd A J, Jensen R B. The core model. Ann Math Logic, 1981, 20: 43-75 

[2] Foreman, Matthew, Menachem Magidor and Saharon Shelah. Martin’s Maximum, saturated ideals and non-regular unltrafilters. Part I, Annals of Mathematics, 1988, 127: 1-47 

[3] G¨odel Kurt F. The consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis // Proceedings of National Academy of Sciences, USA, 1938, 24: 556-557 

[4] G¨odel Kurt F. Consistency-proof of the Generalized Continuum-Hypothesis // Proceedings of National Academy of Sciences, USA, 1939, 25: 220-224 

[5] Martin D A, Steel J R. Iteration trees. Journal of American Math Soc, 1994, 7: 1-73 

[6] Mitchell W J. Hypermeasurable cardinals. Logic Colloquium’78(Boffa M et al, eds) Stud. Logic Foundations Math. 97 North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1979, 303-316 

[7] Mitchell W J, Steel J R. Fine Structure and Iteration Trees. Berlin: Springer-Verlag, 1994 

[8] Scott D S. Measurable cardinals and constructible sets. Bull Acad Polon Sci S´er Sci Math Astronom Phy, 1961, 9: 521-524 

[9] Silver J H. The consistency of the GCH with the existence of a measurable cardinal. Axiomatic Set Theory, Proc Sympos Pure Math Vol XIII, Amer Math Soc, Providence, R I, 1971, 391-395 

[10] Solovay R M. Strongly compact cardinals and the GCH. Proceedings of the Tarski Symposium(Henkin L et al, eds). Proc Sympos Pure Math Vol XXV, Amer Math Soc, Providence, R I, 1974, 365-372 

[11] Steel J R. The Core Model Iterability Problem. Berlin: Springer-Verlag, 1996 

撰稿人：冯 琦 

中国科学院数学与系统科学研究院