250个数学难题：5

极小塔问题

The Minimal Tower Problem

极小塔问题是基数不变理论中 (集合论研究领域之一) 的核心问题之一. 这个问题最早出现在 Rothberger 20 世纪 40 年代的工作中, 参见文献 [3]. 问题涉及两个连续统基数不变量 p 与 t 是否在 ZFC 下可证明是相等的, 其中 p 为伪交数, t 为塔数, 定义为：

p = min{|A| : A ⊆ P(ω), 其中 A 具有强有限交性质, 但不存在自然数集 ω 的无穷之集 a, 使得 ∀_x ∈ A(|a − x| < ω)},

t = min{ |T| : T = {x_α : α < λ} 满足式 α < β 则有 |x_β − x_α| < ω 但不存在 ω 的无穷之集 a, 使得 ∀_α < λ(|α − x_α| < ω)}.

此问题是基数不变量理论中的历史最悠久的公开问题, 它的解决将对力迫理论的发展起到巨大的推动作用. 此问题难度巨大, 众多研究人员对其展开过深入研究, 但至今仍未解决.

参 考 文 献

[1] Blass A. Combinatorial cardinal characteristics of the continuum // Foreman M, Kanamori A and Magidor M. Handbook of set Theory, to appear

[2] van Douwen E K. The integers and topology // Kunen K and Vaughan J, Handbook of set Theoretic Topology. North-Holland, Amsterdam, 1984, 111-167

[3] Rothberger F. On some problems of Hausdoff and of sierpinski. Fund Math, 1948, 35:29-46

撰稿人：张树果

四川大学