理性的交响 （谈音乐中的数学）
理性的交响
——谈音乐中的数学
音乐与数学是人类精神王国中所绽放的两朵瑰丽之花，崇高至美而使人陶醉，永不枯萎。伟大的物理学家爱因斯坦十分风趣：「我们这个世界可以由数学公式组成，也可以由音乐的音符组成。」如果我们能掌握这两朵思想之花，就可以说我们掌握了相当多人类文明所创造的精神财富。由此而言，寻找二者之间的联系就显得甚为重要。
提到数学与音乐之联系，当我们拿到一张乐谱，除了标题之外我们最先看到的就是节拍与速度之记号。它们直接由数字来进行表达，与数学的关系显而易见。另外，在乐谱中尚有全、二分、四分、八分音符等等时值不同的音符。当我们书写乐谱的时候，与在数学上求公倍数的方法类似，不同时值的音符必须以一定比例与节拍规定的小节相对应，构成规定拍数。我们知道，多数时候，作曲家们只有将动听的旋律与严谨的节拍相结合，其音乐方能在合拍中被赋予生命力。音乐与数学之严密性的重要联系由此可见一斑。
除了节拍对音乐的重要性，无论是否具有良好的音乐素养，提及音乐时人们最先想到的大概还会有七个基本音阶。可这些音阶具体又是按照什么理论作为依据而进行规定与排列的呢？让我们从音乐的历史说起。
从古希腊的年代开始，音乐就被人们视为与数学相关联的一门艺术，数学与音乐的深远关系长久以来使学者们倍加关注。众所周知，爱琴海是西方学术精神的重要发源地，古希腊是西方文明的摇篮。正如古希腊哲学中存在各种思想的萌芽，作为近现代艺术重要组成部分的音乐，在古希腊就拥有崇高的地位，这地位与音乐在古希腊时期作为数学的衍生是分不开的。古希腊人创作了许多精彩的合唱抒情诗作品，如著名的《普罗米修斯》《俄狄浦斯王》等等。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊伟大的哲学家、数学家，他对古希腊音乐的影响非常巨大。他提出了科学音乐观，用数学化的科学办法对音乐进行分析。有一天，毕达哥拉斯外出散步时经过了一家铁匠铺。他发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他进去测量了铁锤和铁砧的大小，发现了一个规律：声音的和谐程度与发声体的体积比例有关。之后，他又在琴弦上进行验证，进一步发现只要按长度比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。就这样，毕达哥拉斯是世界上最早发现音乐与数学之联系的人。
在毕达哥拉斯的学派那里，音乐被定义成数的科学。他们的核心教条是：万物的本原不是物质，事物的本原是由数构成的。因此，数的本原便是万物的本原。而音乐作为数的科学意义重大，被视为能净化与升华人的心灵。
毕达哥拉斯学派以数为基础的科学音乐观，也开启了西方「比例和谐」这一音乐的重要论题，影响西方达两千多年之久。从古希腊的柏拉图、中世纪的波埃修、奥古斯丁到文艺复兴时期的查里诺、凯普勒、达芬奇都对这一论题进行了研究与讨论，并肯定了数学在音乐中具本质性的重大作用。
（图为希腊盲诗人荷马在唱诗，他演奏的就是著名的里拉琴）
迄今为止，在大众眼中，音乐依然十分抽象。但实际上对于相当多的作曲家们来说，音乐体现为具体化的数字结构。从这一角度看来，毕达哥拉斯开创了利用理性与逻辑研究音乐的理性主义音乐之先河。那么，具体到数学的定量分析，什么样的音乐才是合乎逻辑而悦耳动听的呢？
众所周知，声音产生于物体的振动，而所谓音高就取决于振动的频率。现代生物学研究表明，人耳听觉敏感程度与声音的频率大致呈指数关系。例如，220赫兹与440赫兹之间的差距和440赫兹与880赫兹之间的差距对于人的听感来说大致相同。所以我们可以赋予它们相同的音名，然后划分出高低不同的音域。世界各地的古人不约而同地依据经验发现了这个现象。于是每当声音的频率翻倍，我们就记它为一个单位：西方称之为「八度」，东方则称之为「均」。
另有研究表明，如果我们同时发出两个音，则当它们的叠加波形越有规律就越和谐。数学上来说就是：先按照比例将两个音对应的波形函数各自的频率通约成两个互质的正整数，将通约后得到的函数相加得到一个新函数。其最小正周期越小，这两个音就越和谐。同样地，古人也从经验出发发现了这个道理。依据物理学，乐音的频率与弦乐器的弦长或者管乐器的气柱长成反比，所以通过打孔或者改弦，古人开始研究声律法。古人并不懂物理学上的频率，但是他们也能听出音高，发现了音高与弦长的关系。他们很早就发现，弦长为简单的整数比例的时候其音程比较动听。最简单的一比二、二比三、三比四的音高比例是相当和谐的，在今天分别被叫做「纯八度」、「纯五度」和「纯四度」。
毕达哥拉斯学派所使用的律制叫做「五度相生律」。因此五度相生律也被称为「毕达哥拉斯律」。古代中国也使用过类似的律法，被称为「三分损益法」，它们都是相当古老而和谐的律法。在五度相生律中，音乐家就把相隔纯八度和纯五度的音程定为完美的协和音程。于是他们将纯五度作为生律要素，五度相生律由此产生。
五度相生律即每次将音高升纯五度而产生一个新的音，因此得名。基准音的频率若设为1，则可生成3/2与之成为和谐的音程。同理3/2与9/4也是和谐的，然而后者已经超了一个八度。依据上文所说，将频率除以2则得到了一个听感相同的音9/8。像这样迭代下去，先对数列大小进行排序再取前七个，按照一般的记法我们得到了七个基本音阶：C、D、E、F、G、A、B（即大众所知的do、re、mi、fa、sol、la、ti）。尽管我们可以迭代任意多次，可是一般来说我们选择迭代五次，七次或十二次。这是因为3/2的5、7、12次方约等于2的3、4、7次方，方便计算与分割。
而三分损益法则是：先取某个长度的琴弦作为基准，其音名称作为C；剪掉C的三分之一，得到G；然后延长G的三分之一，得到D。就这样再次历经剪掉、延长、剪掉上一步所得弦长的三分之一，我们又得到了A、E、B。
（图为古书上记载的有关「三分损益法」的内容）
就这样，每次剪短都是纯五度，而每次延长都是纯四度。新生成的五个音，连同最初的C，相邻两个的频率比例都是9/8，而B和下一个C的频率比例是256/243，相当于预期的9/8的一半。就这样，我们得到了最初的七个基本音阶中的六个C、D、E、G、A、B。取其中前五个也正是中国古代常用的五声音阶，即依次为「宫、商、角、徵、羽」。按照这个原理，从C又可向下推出F、升A、升D、升G、升C、升F，将连同C在内的十二个音写在一个八度之内。
在这里就提到了音乐中很重要的调式。调式是若干个以特定顺序连接起来的音以一个主音为中心形成的音阶集合。这些音互相之间具有某种特定的音程关系，并在调式中担任不同的角色。调式是决定音乐风格最重要的因素之一。调式的种类繁多，主要有大调式（如莫扎特的《G大调弦乐小夜曲》）、小调式（如柴可夫斯基b小调的《天鹅湖》）和民族调式（如商调式的中国乐曲《金蛇狂舞》和多利亚调式的英国民歌《斯卡布罗集市》）。大调式明亮而开阔，小调式暗淡而柔和，民族调式的种类更是丰富多彩。音符在不同的调式下进行不同的排列，表现出不同的欣赏风格与感情色彩，这与逻辑上的数学推算也不无关系。
介绍完调式，让我们回到律制。现在有人把五度相生律和三分损益法混为一谈，其实是不严格的。虽然它们在思想上比较相似，但是它们的算法不同，以至于结果也并不完全相同。然而它们同为和谐的古老律制，在艺术之美上是相通的。
然而，现在使用更加普遍的律制是「十二平均律」。十二平均律又称十二等程律，比五度相生律更为简单。它直接将一个八度平均分成了十二份，即每个音的频率是上一个音的2的12次方根倍。而它之所以将一个八度分成十二份，是因为这样的分法与五度相生律拟合度很高。那么为什么在已经有了五度相生律的情况下，人们还要使用十二平均律呢？
与十二平均律相比，五度相生律的最大好处就是其调性明确，音与音之间的倾向性好，更易于表现音乐的旋律感。根据五度相生律得出的各音，虽然在音名上与十二平均律的音名相同，但它们在音高上却有一些区别，有大全音、小半音、大半音之分，而十二平均律在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然。不过，由于在十二平均律中各音的频率构成了等比数列，它转调比五度相生律更为方便。在键盘乐器的演奏和制造上它有着许多优点，现在的钢琴就是依据十二平均律制成的。
（使用十二平均律的钢琴在如今的重要地位已不必多言）
而十二平均律迟迟没有被发明，也正是因为人们数学水平的不足。在毕达哥拉斯的年代，人们早已经认识到了五度相生律的不方便之处。然而当时人们对无理数认识不足，以致十二平均律更多只是停留在抽象的概念上。这也说明了数学的确对音乐有不可小觑的影响。
在历史上，中国南朝数学家何承天最早提出有记载的十二平均律数列；意大利的物理学家伽利略（Galileo Galilei）的父亲伽利略·文森佐（Vincenzo Galilei）也曾试图解决十二平均律的问题，然而不太成功。后来，中国明代音乐家朱载堉率先使用算盘较为精确地算出了十二平均律的律值，首创十二平均律乐器，是中国古代的重要音乐成就。
十二平均律非常接近五度相生律，让人耳并不容易察觉出不同，但它又同时排除了五度相生律的一些问题。这种律制经意大利传教士利玛窦介绍到了欧洲，给欧洲音乐带来了至关重要的启发。著名德国作曲家巴赫（Johann Sebastian Bach）就由此创作了精妙的赋格曲和卡农曲，将欧洲音乐推上了空前的高峰。
除了上文提到的五度相生律和十二平均律，还有一种叫做「纯律」的较为常用的律制，纯律也是对五度相生律的一种改良。中世纪晚期，复调音乐兴起，和声的应用变得广泛，五度相生律的缺点体现了出来：「三和弦」指三个音按三度关系叠加，如C、E、G或者D、F、A。人们发现由五度相生律得到的三和弦中的三音不够和谐，为了改善和声效果，多声部音乐开始使用纯律。
（图为查理曼加冕，中世纪艺术的宗教气息十分浓厚）
五度相生律除了必要的纯八度引入了纯五度，而纯律还引入了第三种比例关系五比四，对应「大三度」。例如，设C音的频率为1，C、E、G这个大三和弦的频率比在五度相生律下为1比81/64比3/2。然而经过分析，E其实是过高的，不够和谐。但81/64在数值上很接近5/4，所以我们可以把五度相生律中的E稍作修改，使之构成一个更加和谐的大三和弦。所以，纯律其实就是在五度相生律的基础上插入一个大三度所形成的律制。我们可以继续推导，在G和下一组D之间插入一个大三度，得到B；在F和下一组C之间插入一个大三度，得到A。这样我们就得到了钢琴上的所有白键。另外，五比六的比例对应「小三度」，我们可以此再推导出带有升降号的音。
虽说纯律是一种改良，可它同样也存在着重大缺陷。与五度相生律相同，纯律也不方便转调；本该相同的全音在纯律里分为了大全音和小全音，五度音程中除了纯五度还出现了更小的狭五度。于是，纯律并不太适合单音音乐。
音乐具有平衡对称性，数学化的思想显然也就包含于其中了。总之，通过数学的推算，我们能得到若干种不同的律制。对于不同的音乐，使用更为合适的律制才能发挥出更加精彩的效果——这正说明了数学对于音乐发展的意义之大。
除了律制这个音乐与数学最直接的联系之外，研究更多音乐和数学的关系在国际上也一直是一个课题。许多现代作曲家都对音乐与数学的结合进行过大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯（Iannis Xenakis）创立了「算法音乐」，以数学方法代替艺术思维，创作过程即演算过程；德国作曲家施托克豪森（Karlheinz Stockhausen）提出以几何图形的轮转方式作出「几何音乐」的思想。
法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）的工作更使音乐性质的研究达到顶点，他证明所有乐声的波形都可用数学表达式来描述，而这些表达式正是简单的三角函数之和，这就是所谓的「傅里叶级数」。开普勒（Johannes Kepler）、伽利略、欧拉（Leonhard Euler）、哈代（Godfrey Harold Hardy）等人也都潜心研究过音乐与数学的关系。数学与逻辑就这样
透入到音乐领域，产生了非同小可之影响，人们已经充分认识到数学家在音乐的领域发挥着不可忽视的作用。
（分析学中的积分变换是电子音乐制作者的进阶必修课）
数学和音乐在形式上最相似的一点是：符号的大量使用是数学作为形式科学具有高度抽象性的特征；而音乐同样使用符号体系，是所有艺术中最为抽象的一门。然而，数学给大众的印象是单调而冷漠的，而音乐则是热情而充满幻想的。表面看，音乐与数学风马牛不相及，其实不然：
微积分的创立者之一，著名数学家莱布尼茨曾说过：「音乐，就它的基础来说，是数学的。」音乐与数学正是这样由理性和逻辑而联结紧密，是人类思想皇冠上两颗交相辉映的璀璨明珠！
