弃九验算法

设 $a$ 的各位数字之和为 $\overline{a}$ ，可以知道 $a$ 与$\overline{a}$ 模 9 同余，即

$a \equiv \overline {a} (\mod 9)$

也就是说，一个数除以 $9$ 所得余数，与这个数的各个位上数字之和除以 $9$ 的余数相同.

如果有两个数 $a,b$ 的积是 $p$ ，且它们的各位数字之和分别是 $\overline{a}, \overline{b}, \overline{p}$ ，则由上式可以得到

$\overline{a}\overline{b} \equiv \overline{p} (\mod 9)$

通过以上方法可以快速验证一个两个大数的乘积是否正确，这种方法称为弃九验算法. 这个方法的特点是只能“检错”，不能“检对”.

举例

例如用弃九验算法验证以下算式是否正确.

$39547 \times 47288355=$ $1870112475185$

验算：

$3+9+5+4+7$ $=28$

$28 \equiv 1 (\mod 9)$ ，即 $28$ 除以 $9$ 余 $1$

$4+7+2+8$ $+8+3+5+5$ $=42$

$42 \equiv 6 (\mod 9)$ ，即 $42$ 除以 $9$ 余$6$

$1 \times 6=6$

$1+8+7+0$ $+1+1+2+4$ $+7+5+1+8+5$ $=50$

$50 \equiv 5(\mod 9)$ ，即 $50$ 除以 $9$ 余 $5$

$5 \ne 6$ ，所以结果一定是错的.

如果原算式是

$39547 \times 47288355=$ $1870112575185$

$1+8+7+0+1$ $+1+2+5+7$ $+5+1+8+5$ $=51$

$51 \equiv 6(\mod 9)$ ，即 $51$ 除以 $9$ 余 $6$ .

那么这个结果可能是对的.

同样也可以验算加法、减法和除法运算.