约数的个数

约数的个数

约数的定义

我们知道，如果$a$ 、$b$ 都是整数，并且有整数$c$ ，使得

$a=bc$

那么 $b$ 就称为 $a$ 的约数.

本文只讨论正整数的正约数.

72有多少个约数？

不难一一例举，72的约数共有12个，它们是

1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72

注意其中包含1和72本身.

有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？

有的.

如果将72分解为质因数的乘积，即

$72=2^3 \times 3^2$

那么72的所有约数都是

$2^{\beta_1} \times 3^{\beta_2}$

的形式. 其中 $\beta_1$ 可取4个值：0、1、2、3；$\beta_2$ 可取三个值：0、1、2. 例如当 $\beta_1=0$ 且$\beta_2=0$ 时，上式的结果是1；当 $\beta_1=3$ 且 $\beta_2=2$ 时，上式的结果是72.

因此，72的约数的共有

$\beta_1 \times \beta_2$ $=4 \times 3$ $=12$ (个)

约数个数公式

一般地，设自然数 $n$ 可以分解为

$n=P_1^{a_1} P_2^{a_2} \cdots P_n^{a_n}$

其中$P_1$ 、$P_2$ 、$\cdots$ 、$P_n$ 是不同的质数，$a_1$ 、$a_2$ 、$\cdots$ 、$a_n$ 是正整数，则形如

$P_1^{\beta_1} P_2^{\beta_2} \cdots P_n^{\beta_k}$

的数都是 $n$ 的约数，其中

$\beta_1$ 可取$a_1 +1$ 个值：0，1，2，$\cdots$ ，$a_1$ ；

$\beta_2$ 可取$a_2 +1$ 个值：0，1，2，$\cdots$ ，$a_2$ ；

$\cdots$

$\beta_k$ 可取$a_k +1$ 个值：0，1，2，$\cdots$ ，$a_k$ .

所以$n$ 的约数共有

$(a_1 +1) (a_2+1) \cdots (a_k+1)$ 个.