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自然数的平方和公式推导过程一



十七世纪法国数学家帕斯卡(Pascal B.,1623.6.19-1662.8.19)的求法:


(k+1)3=k3+3k2+3k+1(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1


k=1,2,3,,k1,kk=1,2,3,\cdots,k-1,k 代入上式得到:


13=11^3=1


23=(1+1)3=13+312+31+12^3=(1+1)^3=1^3+3 \centerdot 1^2+3 \centerdot 1+1


33=(2+1)3=23+322+32+13^3=(2+1)^3=2^3+3 \centerdot 2^2+3 \centerdot 2+1


43=(3+1)3=33+332+33+14^3=(3+1)^3=3^3+3 \centerdot 3^2+3 \centerdot 3+1


\cdots\cdots


k3=(k1+1)3k^3=(k-1+1)^3 =(k1)3=(k-1)^3 +3(k1)2+3(k-1)^2 +3(k1)+3(k-1) +1+1


(k+1)3=(k+1)3=k3+3k2+3k+1(k+1)^3=(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1


将上列式子左右两边相加


左边 =13+23+33++k3+(k+1)3=1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3

右边 =13+23+33++(k1)3+k3=1^3+2^3+3^3+\cdots+(k-1)^3+k^3

+3(12+22+32++k2)+3(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2)

+3(1+2+3++k)+3(1+2+3+\cdots+k)

+(k+1)+(k+1)


左边 == 右边


12+22+32++k2=Sk1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=S_k


等式两边的13+23+33++k31^3+2^3+3^3+\cdots+k^3 相互抵消


于是有


(k+1)3=3Sk+3k(k+1)2+(k+1)(k+1)^3=3S_k+\dfrac{3k(k+1)}{2}+(k+1)


移项,提取公因式后有


3Sk=(k+1)[(k+1)23k21]3S_k=(k+1)[(k+1)^2 - \dfrac{3k}{2} -1]

展开右侧


3Sk=k(k+1)(k+12)3S_k=k(k+1)(k+\dfrac{1}{2})


于是得到


Sk=k(k+1)(2k+1)6S_k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}


这种方法还可以推导自然数的立方和、4次方和等。






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