自然数的平方和公式推导过程一

十七世纪法国数学家帕斯卡(Pascal B.，1623.6.19-1662.8.19)的求法：

由 $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$

将 $k=1,2,3,\cdots,k-1,k$ 代入上式得到：

$1^3=1$

$2^3=(1+1)^3=1^3+3 \centerdot 1^2+3 \centerdot 1+1$

$3^3=(2+1)^3=2^3+3 \centerdot 2^2+3 \centerdot 2+1$

$4^3=(3+1)^3=3^3+3 \centerdot 3^2+3 \centerdot 3+1$

$\cdots\cdots$

$k^3=(k-1+1)^3$ $=(k-1)^3$ $+3(k-1)^2$ $+3(k-1)$ $+1$

$(k+1)^3=(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$

将上列式子左右两边相加

左边 $=1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3$

右边 $=1^3+2^3+3^3+\cdots+(k-1)^3+k^3$

$+3(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2)$

$+3(1+2+3+\cdots+k)$

$+(k+1)$

左边 $=$ 右边

令 $1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=S_k$

等式两边的$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3$ 相互抵消

于是有

$(k+1)^3=3S_k+\dfrac{3k(k+1)}{2}+(k+1)$

移项，提取公因式后有

$3S_k=(k+1)[(k+1)^2 - \dfrac{3k}{2} -1]$

展开右侧

$3S_k=k(k+1)(k+\dfrac{1}{2})$

于是得到

$S_k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

这种方法还可以推导自然数的立方和、4次方和等。