青羽讲数学史（四）下

青羽讲数学史（四）

中国篇下·古中国璀璨的数学成就

数学长征，青羽

祖冲之亦是中国杰出的数学家，他自少时便“专攻数术，搜烁古今”，同时主张绝不“虚推古人”，即不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，总是亲自进行精密的测量和仔细的推算。如他自述所言：“每每亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹测”。

祖冲之除了将圆周率精确至小数第7位之外，还给出圆周率的分数形式：约率（$\dfrac{22}{7}$ ）和密率（$\dfrac{355}{113}$ ），这极大程度上简化了天文、历法中相关的计算问题。

祖冲之还写过《缀术》五卷，被收入《算经十书》中。但由于隋朝时“学官莫能究其深奥，故废而不理”。这一状况的直接后果就是造成《缀术》的失传。但关于其失传，历史中富有争议，隋唐时数学落后，众多数学家认为《缀术》“全错不通”。那么究竟是《缀术》全错不通，还是学官不究其奥？我认为后者更具说服力。

总之，在北宋时期，《缀术》已完全失传。后世学者多叹息痛恨于此，曾有学者欲复原《缀术》，但莫不失败，由此可见祖冲之学问之高深。

祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出了祖暅定理，即“幂势既同则积不容异”，意思是等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等。祖暅应用这个定理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式问题。

同样在南北朝时期，有一篇著作《孙子算经》中提出了一个“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？意思是：一个整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个整数。

对这个问题，《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法。我们不妨来探讨一下这个题。

我们可以把除以3余2和除以7余2的数写成21n+2,（n为正整数）

21n+2除以5余3，则21n除以5余1，易想到21除以5余1，那么要求n除以5余1（乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。同样，n也可以取6,11,16...

于是我们得到了满足这个条件的最小的数是23，但这个问题的解法显然有无数多个，能否表达出它们的通式呢？显然，n除以5余1，则可设n=5a+1（a为自然数），那么这个数就等于21n+2=21(5a+1)+2=105a+23。

这个工作大概是宋朝数学家秦九韶于1247年所做，秦九韶在《大衍类》中对其作出了完整系统的解答。

对于这种解答过程，我们通常称之为“孙子定理”，但在西方称其为“中国剩余定理”。于其冠以“中国”二字，可见西方学者对中国数学成就的认可。通常一个定理的命名，都是以其发现者的名字，如韦达定理，毕达哥拉斯定理等，以国家名字为名的，此为仅见。

中国剩余定理是数论四大定理之一，其地位至关重要。与其并列的还有威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理。

至隋朝，隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。

中唐之后，国家商业繁荣，航海测位、天文历法计算、经商贸易筹算等对数学工具的需求大大增加，由此朝廷急需善数之臣。在此背景下，国子监增设算学博士和助教，使得贵族子弟的数学水平得到提升，众多古代数学经典得到良好的保存。另外，晚唐时的计算技术有了进一步的改进和普及，出现多种使用的算术书，对于一些算法力求简捷。

4.宋元朝——磨砻淬励而迎来巅峰

960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面，使得农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进。于此时期，出现了一大批著名的数学家和数学著作。如贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》等等。在很多领域都达到了当时世界数学的巅峰。

其中，秦九韶是南宋时的著名数学家，与李治、杨辉、朱世杰并称“宋元数学四大家”。他23岁考中进士，创造了“大衍求一术”，即中国剩余定理，又可称为“大衍归一术”（听起来好高大上）。他还创造了“正负开方术”，即秦九韶算法，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到它的定理和解题原则。

所谓秦九韶算法，是对任意高次方程的数值解法。此项成果比1819年英国数学家霍纳的同样解法早了572年。这种算法是将多项式改写成多层一次项式，再由内而外逐层计算一次多项式的值。我们不妨以一道例题来代替一般性的结论进行讲解：

如，设 $f(x)=3x^4+2x^3-9x^2-11x+1$ ，求$f(4)$ 的值

根据秦九韶算法，将多项式改写为：$f(x)=(((3x+2)x-9)x-11)x+1$ ，这种改写方法是十分简单的，只需逐层减掉常数项，再提出x即可。那么我们从最里层开始，记V0为最里层括号中的一次项系数，V1表示最里层括号里的数，V2为第二层括号里的数...

则本题中V0=3，V1=3×4+2=14，V2=14×4-9=47，V3=47×4-11=177，V4=177×4+1=789. 所以$f(4)=789$ . 在这个算法中，我们只需计算4次乘法和4次加法。如果对于最高项为n的多项式，我们最多只需计算n次乘法和n次加法。而如果用一般方法去计算，我们需进行 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 次乘法和n次加法，可见秦九韶算法大大简化了计算过程。

对于计算机而言，乘法的运算过程较为复杂，因此我们编写程序时希望尽可能的减少乘法计算的次数。由此秦九韶算法是一个非常实用的算法，其实，即使在现代，利用计算机解决多项式求值的问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。

此外，秦九韶还创造了“三斜求积术”，即三角形的三条边长已知，求三角形面积的公式。这与古希腊数学家海伦的海伦公式一致，不过其形式略有不同。

设三角形的三边分别是a、b、c，由三斜求积术表示的S:

$S=\sqrt{\dfrac{1}{4} \bigg[ c^2 a^2 - \bigg( \dfrac{c^2+a^2-b^2}{2} \bigg)^2 \bigg]}$

此处a、b、c满足轮换对称，即可以互换位置，由海伦公式表示的S:

$S=$$\sqrt{ \bigg( \dfrac{a+b+c}{2} \bigg) \bigg( \dfrac{a+b-c}{2} \bigg) \bigg( \dfrac{a+c-b}{2} \bigg) \bigg( \dfrac{b+c-a}{2} \bigg)}$

两者形式不同，但其实是一样的。在三斜求积术中，涉及到了二次的计算，而在海伦公式中，仅需进行一次式的计算。在不同的环境下，选用更方便计算的公式可以问题简化。

美国科学史家萨顿评价秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

对于此话，我有一番个人的见解。众所周知，宋朝是一个积贫积弱的朝代。自赵匡胤开国以来，宋朝始终未能真正强大起来。先有辽，后有金，最后是元。这些剽悍的民族尚武力、好骑射，喜欢攻城略地的扩张。而宋朝，不但重文轻武，且愿意为苟安低头，称兄道弟，纳税称臣，只要保得住“天下”，一切拱手相让也在所不惜。

在这样的背景下，多少仁人志士愿为国仗剑，抵御外敌，奈何他们始终是黯淡无光地在漫漫长路上蹒跚前行。纵有千般愁苦，万分不甘，也留不住分崩离析的大宋。如刘辰翁词中“那堪独坐青灯，想故国、高台月明。”辰翁之悲，实为亡天下之悲也。

南宋众多高士，都在以自己的方式报效朝廷，或纵马沙场，或治安一方。如秦九韶便有高风亮节，并且磨砻淬励地精研数学，为大宋复兴之大业献上自己毕生之力。

数学家使国家强盛，这是史有前例的。如四大数学家之一的阿基米德，为一个弱小国家发明了多种强劲武器来抵御强大的罗马帝国的进攻。

于此同时的南宋，还有一个叫杨辉的数学家同样有伟大的发现——杨辉三角。杨辉三角是二次项系数在三角形中的几何排列，它将二次项系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地表达出来，是一种离散的数与形的结合。

与杨辉三角直接相关的就是二项式定理。在上图中，第0行可表示 $(a+b)^0=1$ ,第一行表示$(a+b)^1=a+b$ ，第二行表示$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ，第三行表示$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$……以此类推，每行的数都可表示这个次级的展开式中每一项的系数。

由此可见，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形合一。但杨辉并不是第一个有这种想法的人，最早是贾宪在北宋时期提出来的。此三角形在西方被帕斯卡提出，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年。

在中国它通常被称作杨辉三角，但在西方更乐意称帕斯卡三角形。

关于它有许多的性质，如图中的红色线条就是其性质之一，上面两个数的和等于下面的数。它的很多性质直接与排列组合的公式相关，因为三角形中的数字都可用组合数表示，如图中表示的 $C_n ^1$ 等，其中 $C_n ^k =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ ，它的意义可以为从n个人中任选k个人出来，一共有多少种方案。可见它与我们的生活也是息息相关的。

到了金代，数学家李治提出了“天元术”，元代的朱世杰将其完善并用于建立二次方程。天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，但在那个时期，列方程不是一件容易的事。西方在文艺复兴之前，人们对二次方程都不求甚解，对三次及更高次的方程，可谓所知甚少了。

而在中国，自春秋战国以来，数学家就一直在为列方程与解方程寻求方法。至宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完善的方法，而列方程的研究，则归功于天元术这一杰出的创造。

宋元时期数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，也是传统数学发展的必然结果。然而从明代开始，中国进入了封建社会的晚期，一些西方的思想开始进入中国，中国数学与西方数学开始融合。但这融合过程中，中国数学失去了很多自己的成果，十三世纪的考试制度中已经删去了数学内容，中国数学从此走向衰落。

再后来，是列强用枪炮轰开了中国的大门，此时统治者及官僚才意识到要“师夷长技以自强”，由此遣送大量青年人及学者前往西方学习，将西方的数学思想、数学成果大量带入国内。

民国之后，一大批优秀的数学家如华罗庚、苏步青、陈省身、陈景润、熊庆来等等，为中国数学的发展做出了巨大贡献。有关这部分内容，以后或许会向大家介绍。

结语

自此，数学史中国篇算是完成，我省掉了其中许多内容，但精讲了一些人和他们的成就，其中包括了上一期未能详述的刘徽割圆术。关于省掉的内容，在此后的数学史篇章中将或有穿插。另外，这篇文章中有部分内容我掺杂了个人情感，事实上，许多人完成了学业，对自己国家的数学发展却所知甚少。但若你了解的越多，就越能深刻地认识到，历史绝不是冰冷的，它拥有一种神奇的魔力，能够催人心神，仿佛穿越了时空与前人共鸣。我读数学史，每每读到振奋人心之时，莫不悠然神往，如痴如醉。其中各种感触，莫能尽述，但它却真实地存在。

将中国篇作为外传的原因在于，中国的数学很少有走入西方的（并被西方学者承认），我所知的也仅有中国剩余定理。因此中国的数学算是在一个封闭的体系中发展的，与我所想要讲述的数学史不同，那是一个连续的、在自我体系中不断发展的数学史。下一篇我将写文艺复兴时期的数学，敬请期待。