俄罗斯VS乌克兰数学竞赛题

俄罗斯

1

已知平面上的点 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 和点 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ . 证明：可以将点 $B_i$ 重新编号，使得对于所有的 $i \ne j$ ，向量 $\overrightarrow{A_iA_j}$ 和 $\overrightarrow{B_iB_j}$ 所构成的角为锐角或直角.

（ 2003 俄罗斯数学奥林匹克 ）

2.

正整数 $N$ 不能被 $81$ 整除，但是，可以表示为均是 $3$ 的倍数的三个整数的平方和. 证明： $N$ 也可以表示为均不是 $3$ 的倍数的三个整数的平方和.

（ 2006 俄罗斯数学奥林匹克  ）

3.

求正整数 $x,y$ 使得

$x^3-y^3=xy+61$ .

（ 2001 俄罗斯数学奥林匹克  ）

乌克兰

1.

由 $10$ 艘驱逐舰和 $20$ 艘小艇组成的舰队准备攻击某个岛屿， 所有的船均在一条直线上等距离排列. 有 $2$ 艘鱼雷艇负责保护该岛屿，每艘鱼雷艇有 $10$ 枚鱼雷. 已知第一艘鱼雷艇只能向连续排列的 $10$ 艘船以射鱼雷；第二艘鱼雷艇能向相间排列的 $10$ 艘船发射鱼雷；而且，它们必须同时发射鱼雷，因此，有些目标可能会被 $2$ 枚鱼雷同时击中. 问在无论鱼雷艇如何选择攻击目标的情况下，最多能有几艘驱逐舰能够避免被鱼雷攻击？

（ 2018 乌克兰数学奥林匹克 ）

2.

求正整数 $m,n$ 使得

$\sqrt{m} +\dfrac{2005}{\sqrt{n}} =2006$

（ 2006 乌克兰数学奥林匹克 ）

3. 

设 $a,b,c \in \bold{R^+}$ ，且 $abc \geqslant 1$ . 求证：

$\Big( a+\dfrac{1}{a+1} \Big ) \Big( b+\dfrac{1}{b+1} \Big ) \Big( c+\dfrac{1}{c+1} \Big )$ $\geqslant \dfrac{27}{8}$

（ 2007 乌克兰数学奥林匹克 ）