皮亚诺公理
皮亚诺公理
皮亚诺公理是意大利皮亚诺( Giuseppe Peano， 1858.8.27—1932.4.20)所构造的算术公理系统中的公理。1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以 而不是 作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以 取代 作为基本概念，构造了沿用至今的皮亚诺算术公理系统。
定义
目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如：a=b时a,b代表的是同一个元素。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ、0是自然数；
Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ、0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。
Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
Ⅴ、设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。
更正式的定义更正式的定义
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：
Ⅰ、X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱ、x不在f的像集内；
Ⅲ、f为一单射。
Ⅳ、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A，则A=X。
该结构与由皮亚诺公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：
1）自然数集P不是空集；
2） P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；
3）后继元素映射像的集合是P的真子集；
4） 若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理！
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。
加法的定义
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：
Ⅰ、∀m∈N，0 +m =m；
Ⅱ、∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
加法的性质
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
= 2 （根据自然数的公理）
结合律
证明对任意的a,下述命题成立：
∀b,c，(a+b)+c=a+(b+c)。
当a=0时，
(0+b)+c=b+c(加法定义Ⅰ)
=0+(b+c)(加法定义Ⅰ)，命题成立。
假设命题对a成立，则对a'：
任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。
由公理Ⅴ，命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。
