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二次函数


二次函数



定义


形如 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c ( a,b,ca,b,c 是常数,且 a0a \ne 0 ) 的函数,叫做二次函数(quadratic function) .


二次函数的图象叫做抛物线(parabola),二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 的图象叫做抛物线 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c.


抛物线关键词:开口方向、对称轴、顶点.



顶点式


设二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 的顶点为(x0,y0)(x_0,y_0) ,则有:


x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}


y0=b24ac4ay_0=-\dfrac{b^2 -4ac}{4a}


将二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 变形为 y=a(xh)2+ky=a(x-h)^2 +k ,称为二次函数的顶点式,其顶点为 (h,k)(h,k)


二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 的顶点式推导过程:


y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c


=a(x2+bax+ca)= a \left( x^2 +\dfrac{b}{a} x +\dfrac{c}{a} \right)


 (这一步是提出a,而不是除以a)


=a=a  [\LARGE{\lbrack} x2x^2 +2b2ax+2 \cdot \dfrac{b}{2a} x  +(b2a)2+\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2(b2a)2- \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2+ca+\dfrac{c}{a}  ]\LARGE{\rbrack}


(加上一次项系数一样的平方 (b2a)2 \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2, 再减去 (b2a)2 \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2,确保代数式的值不变.)


=a(x+b2a)2b24ac4a=a \left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2 -4ac}{4a}


交点式


由于从 y=a(xx1)(xx2)y=a(x-x_1)(x-x_2) (a0)(a \ne 0) 中可直接看出抛物线与 xx 轴的两个交点的坐标 (x1,0)(x_1,0)(x2,0)(x_2,0) ,所以通常把 y=a(xx1)(xx2)y=a(x-x_1)(x-x_2) 叫做二次函数的交点式.



性质


二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 有以下性质:


A. a>0a>0 时抛物线开口向上

B. a|a| 越大,抛物线开口越小

C. b24acb^2-4ac 等于0时,与x轴有一个交点,大于0时有两个交小,小于0时无交点

D. c=0c=0 时抛物线过原点

E. b=0b=0 时抛物线对称轴为 yy

F. ab>0ab>0 (即aabb 同号)时,对称轴在yy 轴左侧

G. ab<0ab<0 (即aabb 异号)时,对称轴在yy 轴右侧

H. c>0c>0 时抛物线与yy 轴的正半轴相交

I. c<0c<0 时抛物线与yy 轴的负半轴相交


下图是二次函数 y=x24x5 y=x^2-4x-5 的图象,其 a=1a=1,大于0,开口向上,对称轴 y=b2ay= - \dfrac{b}{2a} =42= -\dfrac{-4}{2} =2=2 .



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