二次函数
二次函数
定义
形如 y=ax2+bx+c ( a,b,c 是常数,且 a≠0 ) 的函数,叫做二次函数(quadratic function) .
二次函数的图象叫做抛物线(parabola),二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线 y=ax2+bx+c.
抛物线关键词:开口方向、对称轴、顶点.
顶点式
设二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点为(x0,y0) ,则有:
x0=−2ab
y0=−4ab2−4ac
将二次函数 y=ax2+bx+c 变形为 y=a(x−h)2+k ,称为二次函数的顶点式,其顶点为 (h,k)
二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点式推导过程:
y=ax2+bx+c
=a(x2+abx+ac)
(这一步是提出a,而不是除以a)
=a [ x2 +2⋅2abx +(2ab)2−(2ab)2+ac ]
(加上一次项系数一样的平方 (2ab)2, 再减去 (2ab)2,确保代数式的值不变.)
=a(x+2ab)2−4ab2−4ac
交点式
由于从 y=a(x−x1)(x−x2) (a≠0) 中可直接看出抛物线与 x 轴的两个交点的坐标 (x1,0) 、(x2,0) ,所以通常把 y=a(x−x1)(x−x2) 叫做二次函数的交点式.
性质
二次函数 y=ax2+bx+c 有以下性质:
A. a>0 时抛物线开口向上
B. ∣a∣ 越大,抛物线开口越小
C. b2−4ac 等于0时,与x轴有一个交点,大于0时有两个交小,小于0时无交点
D. c=0 时抛物线过原点
E. b=0 时抛物线对称轴为 y 轴
F. ab>0 (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧
G. ab<0 (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧
H. c>0 时抛物线与y 轴的正半轴相交
I. c<0 时抛物线与y 轴的负半轴相交
例
下图是二次函数 y=x2−4x−5 的图象,其 a=1,大于0,开口向上,对称轴 y=−2ab =−2−4 =2 .