250个数学难题：1
奥特 (Vaught) 猜想与拓扑奥特猜想
Vaught’s Conjecture and The Topological Vaught Conjecture
奥特 (Vaught) 猜想既是模型论的中心问题之一也是描述集合论的中心问题之一. 它起源于由奥特在文献 [1] 中所提出的一个问题. 很快在逻辑领域这个问题就变成了一种猜想. 奥特猜想是一个关于一种一阶完备理论的可数模型同构分类个数的双歧命题.
奥特猜想 对于可数一阶语言的一个完备理论 T 而言, T 的全体可数模型或者可以被分成可数多个同构等价类, 或者存在个数和实数个数一样多的同构等价类.
伯吉斯 (Burgess) 在文献 [2] 中证明了一种准三歧性：对于可数一阶语言的一个完备理论 T 而言, 它的全体可数模型的同构等价类的个数或者为可数, 或者为第一个不可数基数, 或者为与整个实数轴等势的基数. 无论是前述问题, 还是这一定理, 关键在于相对于连续统的势的取值的无关性. 奥特猜想只是连续统假设的一个非常平凡的推论. 所以, 奥特猜想的一个比较自然而中肯的表达式就是将其中的短语“和实数的个数一样多”换成一种拓扑等势度量“完备多个”. 这就是由贝克(Becker) 与珂克尔斯 (Kechris) 于 20 世纪 90 年代早期所提出的拓扑奥特猜想：
拓扑奥特猜想 设 X 是一个完备可分距离空间. 设 G 是一个连续作用在 X上的带有一个完备可分距离的拓扑群. 那么, 在 G 的作用下或者 X 由可数个轨道所瓜分, 或者存在 X 的一个满足不同元素必据不同轨道之要求的完备子集 Y .
这里的第二种可能性就是通常所讲的“完备多个”轨道. 将一个可数一阶语言的一个完备理论 T 的可数模型的标准表示空间与自然数集合上的无限置换群 S∞,经过“逻辑作用”的一种特定作用形式联结起来, 奥特猜想即成为拓扑奥特猜想的一种特殊情形. 人们也常常称由 S∞ 所定的拓扑奥特猜想的特殊形式为 Lω1ω 奥特猜想.
无论是奥特猜想还是拓扑奥特猜想, 都在模型论领域和描述集合论领域得到相当的关注和研究. 许多数学家, 诸如 Shelah, Lascar, Harrington, Makkai, Buechler,Steel, Becker, Kechris 以及 Hjorth 等, 都在这一方面做出了大量的研究和探索. 比如, 如果只考虑 ω- 稳定理论, 奥特猜想被 Shelah, Harrington 和 Makkai 在文献 [4]中所证明; 如果所考虑的作用群还带有完备的左不变距离, 那么相应的拓扑奥特猜想也成立[5]. 有关这两个问题研究进展的一篇很好的综述文章目前应当是文献 [3].
参 考 文 献
[1] Vaught R L. Denumerable models of complete theories // Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, PWN, Warsaw, 1961, 303-321
[2] Burgess J P. Equivalence generated by families of Borel sets // Proceedings of the American Mathematical Society, 1978, 69: 323-326
[3] Becker H, Kechris A S. The Descriptive Set Theory of Polish Group Actions. Cambridge: Cambridge University Press, 1996
[4] Shelah S, Harrington L A, Makkai M. A proof of Vaught’s conjecture for ω-stable theories. Isreal Journal of Mathematics, 1984, 49: 259-280
[5] Becker H. Polish group actions：dichotomies and generalized elementary embeddings.Journal of the American Mathematical Society, 1998, 11(2): 397-449
撰稿人：高 速
美国北德克萨斯大学
