逻辑，直觉与形式
逻辑，直觉与形式——谈数学史中的哲学
你说月明中？ 我记得那个青年。 他是这样的人： 一个白字连篇的诗词创作者， 一个不通笔墨的文学评论者， 一个黑白颠倒的哲学思辨者， 一个不求甚解的数学研究者， 一个下里巴人的音乐爱好者。 这个人的灵魂有一千种坏毛病， 颓丧，傲慢，偏执…… 却竟然希望世界对每一个人温柔以待。
我们知道，在历史长河中数学与哲学之渊源不可谓不深。从古代哲学的先驱者泰勒斯（Thales），到近代哲学的开端者笛卡尔（Rene Descartes），再到现代最后一位全才庞加莱（Jules Henri Poincare）等杰出的哲学家，都有着光辉璀璨乃至极富有开创性的数学成就。
而像赫拉克利特（Heraclitus）、康德（Immanuel Kant）、黑格尔（Georg Wilhelm Friedrich Hegel）等哲学家同样伟大，却对数学没有突出贡献。同时大众所熟知的数学家阿基米德（Archimedes）、柯西（Augustin Louis Cauchy）、高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）等人又是纯粹与哲学没有关系的。
人类的认识能力是有生理局限性的。其实随着人类对知识的不断积累，学科分化的现象在各个领域都是必然出现的。就如同现今的世界已几近不可能出现文艺复兴三杰式的人物，从近代开始，一个人兼有多门学科之建树的情况少之又少了。我们很难想象一个哲学家在解析数论或者微分流形这样的前沿数学领域上深有造诣，而对哲学感兴趣的数学家就更少了。在如今，如果一个数学家在形而上学的范畴内有所突破，同样不可思议。
但我们仍然不能否认哲学思想对数学的重要性。广为人知的「三次数学危机」正是由悖论引起的；数学的严格性也正由数理逻辑的支持而得以保障。本文将介绍的，便是数学史中的哲学家以及他们的思想。数学哲学中的三大流派逻辑主义、直觉主义和形式主义将在文中穿插介绍。
本文字多，但还是有图，真有
1.泰勒斯
泰勒斯是「古希腊七贤」之一，西方思想史上第一个有记载有名字留下来的思想家，被称为「科学和哲学之祖」。他是第一个提出「世界的本原是什么？」并开启了哲学史的「本体论转向」的哲学家，也是学界公认的「哲学史第一人」。
泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
这就导出了东西方哲学的差异。比起东方哲学，西方哲学思辨，重视自然。比起中国和印度的思想家，西方最早的哲学家泰勒斯就引入了数学上的逻辑证明的方法，说明了西方哲学喜欢就某一问题刨根问底，有很强的实证性和针对性的特点。
泰勒斯曾发现了不少平面几何的定理。这些定理虽然简单，而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。
在科学与哲学上，他倡导理性，不满足于直观的、感性的、特殊的认识，崇尚抽象的、理性的、一般的知识。譬如，等腰三角形的两底角相等，并不是指我们所能画出的、个别的等腰三角形，而应该是指「所有的」等腰三角形。这就需要论证、推理，这种严格的逻辑方法能确保数学命题的正确性，才能使数学具有理论上的严密性和应用上的广泛性，保证其在科学当中应用的严格性与普遍性。泰勒斯的积极倡导，为毕达哥拉斯（Pythagoras）创立理性的数学奠定了基础。
2.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯是对后世影响最大的前苏格拉底（Socrates）时代哲学家之一。他曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，在巴比伦和印度游历后回到欧洲建立了毕达哥拉斯学派。最早把数的概念提到突出地位的就是他们。他们很重视数学，企图用数来解释一切。他们宣称「数是宇宙万物的本原」，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。
毕达哥拉斯认为：因为有了数，几何学才有了点，有了点才有线、面和立体，有了立体才有了火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从「数的和谐」，即服从数的关系。他从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。
毕达哥拉斯曾到各地漫游，在他的游历生活中受到当地文化的影响，了解了许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。就这样，毕达哥拉斯学派有着浓厚的宗教氛围。他们有「不许碰白色的公鸡」「禁食豆子」等一系列宗教性的戒律，相传毕达哥拉斯本人也正是因为被仇人追杀时不肯进入豆田而死。
我们很多时候认为，数字是人理性对实体对象的逻辑抽象，数学正是人理性对诸如数字这类数学结构的形而上演绎。所以尽管他们的世界观仍是朴素的神秘主义，但他们宣称「万物皆数」也正是他们成为在抽象与理性的层面思考世界的先驱的表现，是西方形而上学本体论传统的奠基者之一。
毕达哥拉斯学派也是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。他们认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却是净化灵魂从而达到解脱的手段。不可否认的是，毕达哥拉斯是人类思想史上最重要的人物之一。不仅真正意义上的数学是由他开创的，他还将数学与自己思想中的神秘部分结合在一起，这也导致后来数学与哲学一直存在一种奇特的关系。
讨论毕达哥拉斯和他的学派就不得不提「第一次数学危机」。这是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus）发现：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前「万物皆数」的理论不相容，在学派内部形成了矛盾。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的「一切量都可以用整数或整数之比表示」的信仰。通常，人们就把希帕索斯发现的这个矛盾叫做「希帕索斯悖论」。
图为毕达哥拉斯
3.芝诺
芝诺（Zeno of Elea）是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
据信芝诺为巴门尼德的「存在论」辩护，但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是「一」不是「多」，是「静」不是「动」，他常常用归谬法从反面去证明：如果事物是多数的，将要比是「一」的假设得出更可笑的结果。在这里提一下，现代数学哲学中的直觉主义在某种意义上是反对在数学证明中使用归谬法的。他们认为数学概念来自于人直觉的抽象与具体，先于逻辑方法存在，使用归谬这样的逻辑方法是本末倒置而不可靠的。
芝诺用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓「芝诺悖论」，包括「飞矢不动」「阿喀琉斯追乌龟」等著名的思想实验。虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺悖论的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销。芝诺以哲学层面的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。这也正说明了，数学与哲学之间有相互促进的作用。芝诺先在逻辑上发现了这些困难，才有后来穷竭法的严格化乃至近现代数学分析中极限理论的建立。
芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图（Plato）写作对话《巴门尼德篇》的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此学者们在柏拉图学院中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。在此学习的欧多克索斯（Eudoxus）在稍后的时间里克服了因发现不可通约量而出现的数学危机并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它做出过有意义的贡献。
4.柏拉图
柏拉图是西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，和苏格拉底，亚里士多德（Aristotle）并称为「古希腊三圣」。他建立的柏拉图学院培养出许多杰出的知识分子，其实最杰出的就是亚里士多德。
值得一提的是，相传学院门前标示着「不懂几何学者勿入此门」。公理化方法指以一些某种意义上先验的，人为设定为真的命题为基础进行演绎与推导的逻辑方法。在数学、哲学、科学乃至社会学上的意义重大，甚至在某种意义上，后来美国的托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson）就在其起草的革命纲领《独立宣言》中使用了公理化方法。在数学哲学中，公理化方法是一种倾向于形式主义的方法。形式主义的学者致力于在一切学科上建立公理系统以使其形式化、简明化，便于演绎式的研究。最早由古希腊人创立的平面几何就广泛采用了公理化方法，古希腊最重要的数学文献，欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》中最基本的命题就是公理和公设（现代一般不进行公理和公设的区分）。这就说明了代表着公理化哲学方法的几何学在哲学史上对于理性的逻辑思辨意义重大，柏拉图对它非常重视。
图为欧几里得及其著作
柏拉图曾遇到毕达哥拉斯学派的学者，后来对他产生了影响。以下是柏拉图和毕达哥拉斯学派的一些主要的共同观点：数学为万物的本质；世界分为两部分，理念世界和由影子组成的可见世界；灵魂轮回且不朽；对理论科学感兴趣；宗教神秘主义和道德禁欲主义。
柏拉图的观点形成了柏拉图主义，他所谓的真理王国也叫做柏拉图的理念世界。他认为这是世间万物最后的真相世界，在这个世界中，不仅数字是真实存在的，而且一切诸如方程的数学概念也是真实存在的，这些真理不会被创造，也不会被毁灭，一直就存在。而人类做的事情就是不断地发现这些真理，一个猜想是真是假，完全就是已经定下来的。人类之所以无法证明它，那只是因为能力不及而已。其实如果我们把柏拉图的理念世界与逻辑框架的地位等同起来，我们就可以把柏拉图主义视为数学哲学中逻辑主义最初的滥觞，即数学是逻辑的具体化和直接派生。
那么，柏拉图的数学思想就是：把数学概念当作逻辑层面的抽象物，不依赖于经验而自有其实在性；强调数学的抽象性和逻辑化，强调了概念和推理，重视演绎结构；而且对分析和归纳的方法也给予了充分注意。柏拉图把演绎推理作为数学求证的唯一方法，主张把知识用逻辑演绎系统整理出来，是第一个把推理法则系统化的人。从那个时代起，数学要求从一些公认的基本抽象原理来进行演绎证明，这对科学的发展有重要作用。
柏拉图重视抽象概念，把数学思想当作进入哲学的阶梯。他把数学当作认识理念世界的准备工具，并且由于柏拉图的哲学中辩证法问题和逻辑交织在一起，所以虽然柏拉图其人作为一个哲学家而非数学家对数学没有直接的影响，但他对数学作出的最重要的贡献便是给我们留下了宝贵的抽象与演绎的思想。
5.亚里士多德
师承柏拉图的亚里士多德是希腊哲学的集大成者，同时，还是许多学科的创始人，如伦理学、政治学、物理学、逻辑学等等，被誉为百科全书式的哲学家。他的思想深刻地塑造了中世纪的学术思想，其影响力延伸到了文艺复兴时期，他的物理学最终被牛顿（Isaac Newton）的物理学取代。
虽然亚里士多德是柏拉图的学生，但他却抛弃了他老师所持的某些观点。他说过：「吾爱吾师，吾更爱真理。」亚里士多德和柏拉图一样，认为理性方案和目的是一切自然过程的指导原理。可是亚里士多德对因果性的看法比柏拉图的更为丰富，因为他接受了一些古希腊时期对这个问题的看法。然而，柏拉图认为真实知识的源泉不可能是感觉，亚里士多德却认为知识起源于感官与直觉。柏拉图认为理念是实物的原型，它不依赖于实物而独立存在，而亚里士多德却认为：「实在界乃是由各种本身的形式与质料和谐一致的事物所组成的。」
柏拉图相信数学概念是永恒的理念世界的一部分。亚里士多德不以为然，而是把具体物质看成是更为可取的。数及几何形状是实物的属性，它们通过抽象思维被人认识，但从属于实物。所以尽管数学是研究抽象概念的，而抽象概念却还是来自实物的属性。所以在数学哲学的层面上亚里士多德更倾向直觉主义，他认为数学来自于人对于实物的感觉认识。
诚然，亚里士多德并没有专门写过一本关于数学的书。但他在许多地方讨论过数学，并用数学说明他的一些观点。尽管上文提到亚里士多德倾向于直觉主义，但他还是力图把思维形式和存在联系起来，并按照客观实际来阐明逻辑的范畴。数学哲学的三大流派的区别只在于如何解释数学的本质与来源，而对于逻辑本身，无论是把它视为本质还是工具，它都具有举足轻重的重要地位。
亚里士多德把他的发现运用到科学理论上来。作为例证，他选择了数学学科，特别是几何学，因为几何学当时已经从泰勒斯想对土地测量的经验规则给予合理说明的早期试验阶段，过渡到后来的具有比较完备的演绎形式的阶段。亚里士多德关于数学定义的看法是合乎现代精神的，他指出定义必须用先存在于所定义事项的某种东西来表述。他承认，未经定义的名词是需要的，因为在一系列的定义里总得有个开头，但其后的数学家漠视这一需要，直到19世纪末。
逻辑这门学科来自数学，但是它独立于并且先行于数学，对数学意义重大。亚里士多德对于哲学以及数学最大的贡献就在于创立了形式逻辑这一重要分支学科。逻辑思维是亚里士多德在众多领域建树卓越的支柱，这种思维方式自始至终贯穿于他的研究、统计和思考之中。
亚里士多德集中古代知识于一身，他的思想曾经统治过全欧洲，几乎改变了全西方的哲学家。在数学以及哲学史上，亚里士多德是古典时期的巅峰和终结。
图为壁画《雅典学院》，绘柏拉图举办雅典学院之逸事
在画中，古希腊的众学者跨越时空汇聚一堂
6.笛卡尔
笛卡尔被黑格尔称为「近代哲学之父」。他自成体系，熔本应对立的本体论于一炉，是欧洲近代哲学的奠基人之一。同时他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
哲学上，笛卡尔是一个二元论者以及理性主义者。笛卡尔认为，人类应该可以使用数学的方法——也就是理性——来进行哲学思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。他举出了一个例子：在我们做梦时，我们以为自己身在一个真实的世界中，然而其实这只是一种幻觉而已，这于中国的「庄周梦蝶」不谋而合，都表现出一种怀疑主义精神。他从逻辑学、几何学和代数学的严格性和结构性中出发，提出了四条规则：绝不承认任何事物为真，对于我完全不怀疑的事物才视为真理；必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理；思想必须从简单到复杂；我们应该时常进行彻底的检查，确保没有遗漏任何东西。
由此，笛卡尔认为怀疑就是出发点，感官知觉的知识是可以被怀疑的。他悟出一个道理：我们所不能怀疑的是「我们的怀疑」。意指：我们无法去怀疑的，是我们正在「怀疑」这件事时的「怀疑本身」，只有这样才能肯定我们的「怀疑」是有真实性的，并非虚假的产物，这就是著名的「我思故我在」。所以，笛卡尔在数学哲学上应该是反直觉主义的。
在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。于1637年，他在创立了坐标系后成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。
笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起。数轴是数和形的第一次接触，它向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，我们也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形「转译」成代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的「解析几何」或称「坐标几何」。
解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。其实以今天的观点来看，解析几何的方法在数学哲学中的某种意义上有形式主义的色彩。笛卡尔通过代数的形式对几何进行构建，虽然可以得到与古典平面几何相同的结果，但其实它们的规则是互相独立的。这就体现出了形式主义善于建构，追求自洽的特点。
图为笛卡尔和他的坐标系
7.牛顿
牛顿被誉为「近代物理学之父」。他与莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自独立发明了微积分，奠定了力学和天文学的基础，推动了科学革命。
牛顿在科学上的成就须由他的哲学思想和科学方法来寻根求源。古希腊、古罗马的哲学家凭着对自然现象的观察和思考总结出论断，例如泰勒斯的学说：万物的根源是水。即使像德谟克利特（Democritus）、卢克莱修（Lucretius）的原子论，虽然总体评价很高，但是他们的方法凭天才的臆测、思维与辩论，称之为思辨哲学。到了中世纪，经院哲学统治着欧洲。科学、哲学沦为神学的奴婢。到15、16世纪，经由哥白尼（Nicolaus Copernicus）、布鲁诺（Giordano Bruno）、伽利略（Galileo Galilei）等人的奋斗，对自然现象的观察、测量和实验的风气逐渐形成了，牛顿深受其影响。随后牛顿使作为实验科学的物理学形成一个光辉体系，同时也使科学实验方法闯入了哲学思想的殿堂。
牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不得不受时代的限制。例如，他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念；他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外来的「第一推动力」作用下才开始运动的说法。
牛顿认为科学基本原理可以从现象中得出，所以他首先作为一个物理学家在数学哲学上是倾向于直觉主义的。而且我们知道，近代英国的经验主义哲学非常发达，于是牛顿也是非常重视经验与归纳的。1713年牛顿在出版《自然哲学的数学原理》第二版时在给他学生的信中提到运动定律是居于首位的定律或称之为公理，并说它们都是从现象中推断或称演绎而来的，并运用归纳法使之普适化。牛顿说：「这是一个命题在哲学中所能达到的最高境界的例证。」
诚然，我们必须看到归纳与演绎不能人为地对立起来。关于实验与假设之间的关系，牛顿在各种场合都有论述。他说：「进行哲学研究的最好和最可靠的方法，看来第一是勤勤恳恳地探索事物的属性并用实验来证明这些属性。然后进而建立一些假说，用以解释这些事物的本性。」他还说：「任何不是从现象中推论出来的说法都应称之为假说，而这样一种假说无论是形而上学的还是物理学的，无论属于隐蔽性质的还是力学性质的，在实验哲学中都没有它们的地位。」然而牛顿研究事物规律的方法不同于那些只从简单的物理假设出发的人，而是通过逻辑的演绎法得到对事物现象的解释。他的这些论述奠定了自然哲学的基础，开启了实验科学的大门。
图为牛顿
8.莱布尼茨
莱布尼茨被誉为十七世纪的亚里士多德，在数学史和哲学史上占有重要地位。他虽与牛顿各自独立发明了微积分，但其严密性和系统性是牛顿所不能及的。
莱布尼茨有个显著的信仰，他认为大量的人类推理可以被归约为某类运算，而这种运算可以解决看法上的差异，于是我们或许可以建造一台「演算推论器」，机械地得出我们的答案，这可以看作一种极端的数学形式主义：「精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说：让我们计算，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。」
除了是一位出众的天才数学家之外，莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想，他认为世界因其确定之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎（Baruch de Spinoza）认为实体只有一个，莱布尼茨对此不敢苟同。他认为实体是多的，确切来说是无限多的。
莱布尼茨的本体论思想被称为「单子论」，部分承自古希腊的德谟克利特等原子论者。他的「单子」是世界的最小单元，没有广延，是一种「形式的原子」，是一种精神实体。这就自然地予数学上的「点」以哲学定义，同时这也解释了上文中莱布尼茨提出「演算推论器」的合理性。
跟随亚里士多德的实体观，他以为实体是一命题的主语。莱布尼茨是在亚里士多德和乔治·布尔（George Boole）与德·摩根（Augustus de Morgan）分别出版开创现代形式逻辑的著作之间最重要的逻辑学家。莱布尼茨阐明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性质。
那么总体来说，莱布尼茨的逻辑原理和他的整个哲学可被归约为两点：所有的我们的观念都是由非常小数目的简单观念复合而成，它们形成了人类思维的字母；复杂的观念来自这些简单的观念，是由它们通过模拟算术运算的统一的和对称的组合。我们不得不说，莱布尼茨引入无穷小建立微积分的过程确实与他的哲学思想有一定关系。
到这里，我们就引出了「第二次数学危机」。它是指十七、十八世纪关于微积分理论基础发生的激烈争论。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础出现了许多的问题。于是在当初，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是哲学家贝克莱（George Berkeley）主教在1734年的攻击，他称无穷小是「已死量的幽灵」。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了当时微积分理论中的缺陷，是切中要害的。于是，这个问题一般被称为「贝克莱悖论」。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。最终由魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）、戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）和康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）彻底完成，基本上解决了矛盾。
9.德·摩根与乔治·布尔
德·摩根是英国数学家。他主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出重要的贡献。他的工作对当时19世纪的数学具有相当的影响力。他认为：代数学实际上是一系列「运算」，这种「运算」能在不一定是数字的任何符号的集合上，根据一定的公式来进行。他这种新的数学思想，使代数得以脱离算术的束缚。此外，他提出的「双重代数」，对建立复数性质的几何表示有一定的帮助。在数学哲学层面上，这就是一种倾向于逻辑主义的观点，即将代数运算看作一种具体化的逻辑运算。
德·摩根发展了一套适合推理的符号，并首创关系逻辑的研究。他提出了论域概念，并以代数的方法研究逻辑的演算，建立了著名的德·摩根定律。这亦成为后来布尔代数的先声。他更对关系的种类及性质加以分析，对关系命题及关系推理有所研究，从而推出一些逻辑的规律及定理，突破古典的主谓词逻辑的局限，这些均影响到后来数理逻辑的发展。
乔治·布尔，生于英格兰的林肯。他是19世纪最重要的数学家之一，出版了《思维规律的研究》，这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。由于其在符号逻辑运算中的特殊贡献，很多计算机语言中将逻辑运算称为布尔运算，将其结果称为布尔值。布尔运算阐述了二进制的运算法则，正是在布尔的理论基础上，经过很多人发展，形成了一个新的数学分支——数理逻辑。它是数字电路设计的基础、计算机的基本运算方式。
数学与哲学，逻辑与创造
10.康托尔与庞加莱
康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。从古希腊的芝诺开始，两千多年以来的数学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲，「关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。」
他认识到了无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。他还引进了「可列」这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。就这样，康托尔以集合论中映射的观点出发研究无穷量，使我们的视野得以扩展，这对哲学的发展有着重大的意义。
康托尔的信条是，「数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调……数学的本质就在于它的自由。」他的这个信条是倾向于直觉主义的，即数学本身是自由且自在的，我们要做的工作就是以逻辑作为工具定义出合理而协调的解释。
庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。
庞加莱的哲学著作《科学与假设》《科学的价值》《科学与方法》有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素（Bertrand Arthur William Russell）、希尔伯特（David Hibert）逻辑主义与形式主义的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
11.弗雷格与罗素
弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）是数理逻辑和分析哲学的奠基人。他定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。「概念文字」是书和其中定义的演算二者的名字。
他被公认为伟大的逻辑学家。他于1879年出版的《概念文字》标志着逻辑学史的转折，开辟了新的领域。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对演算推论器的渴望。
作为一位哲学家，罗素的思想大致经历了绝对唯心主义、逻辑原子论、新实在论、中立一元论等几个阶段，主要贡献在数理逻辑方面，由此出发建立了逻辑原子论和新实在论，使他成为现代分析哲学创始人之一。
作为一位逻辑学家，罗素在数学逻辑方面具有巨大的贡献，他写就了《数学原理》一书，被公认为是现代数理逻辑的基础，他所提出的「罗素悖论」推动了20世纪逻辑学的发展，他所主张的逻辑主义也在一定程度上推动了数学历史的发展。
罗素在集合论层面上提出的悖论引发了「第三次数学危机」。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。直到现在，它在整体上还没有解决到令人满意的程度。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。例如，在策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）等人提出的公理系统中，严格规定了一个集合存在的条件，这样我们就无法定义出悖论中的集合。然而这种方法被某些人指为逃避，并没有真正解决问题。
弗雷格与罗素在数学哲学上同属逻辑主义。逻辑主义的论点，主要包括两个部分。一个是：数学概念能通过明确的逻辑定理从逻辑概念中推导出来；另一个是：数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理里面推导出来。罗素就在他的著作《数理逻辑导论》当中从纯粹的逻辑中推出了整个数学框架。
早在弗雷格之前，数学家们对于数学概念之间的相互依赖性的研究就已经表明，所有的算术概念都能规约到自然数。因此，留给逻辑主义的主要问题，就是怎么从逻辑概念中推导出自然数。
12.策梅洛
德国数学家策梅洛的工作主要在数学基础层面，因而他对哲学有着重要影响。
我们已经提到，集合论在数学中是极其重要的。实际上，用现代形式手段，多数数学对象都可以用集合来构建。康托尔最早创立的集合论现今被称为朴素集合论，它后来被更加仔细的构架为公理集合论。公理集合论是用形式化公理化方法研究集合论的一个学科，为数理逻辑的主要分支之一，它的建立正是数学家们为了排除诸如「罗素悖论」这样的问题而做出的努力。
朴素集合论与公理集合论的区别在于，前者依赖把集合作为「某些元素之总体」的事实，是一种非形式理解，而后者只使用可以从明确定义的公理列表中证明的关于集合和元素关系的事实。在1908年，策梅洛参与提出了策梅洛-弗兰克尔集合论，含选择公理时常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理集合论，不含选择公理的则简写为ZF。ZFC的公理有许多等价的公式，它本身以一阶逻辑公式来表达，文中不做叙述。
13.布劳威尔
布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）强调数学直觉，坚持数学对象必须可以构造，被视为直觉主义的创始人和代表人物。在攻读博士学位时，布劳威尔以极大的热情注视着罗素与庞加莱关于数学的逻辑基础的论战，并以此为题写成他的博士论文。总体说来，他倾向于庞加莱的观点，反对罗素和希尔伯特关于数学基础的思想。但是，他又极不同意庞加莱关于数学存在性的说法。他认为，庞加莱的办法不能排除悖论。为此，他在博士论文《论数学基础》中开始建立直觉主义的数学哲学。
他明确承认他的主要想法来源于哲学家康德。康德的思想中，对于知识来源，有着著名的「先验主义」。这指人类对于时空的先验直觉，构建了关于世界的知识。当然，非欧几何的出现，已经宣示了空间直觉的失效。但康德关于直觉更深刻的看法，本质上并未受到影响，直觉的形式更新并不影响直觉的内容与模式。
布劳威尔的直觉主义起源于这样的一种哲学：基本的直觉是按时间顺序出现的感觉，把时间进程抽象出来，就产生了数学。
布劳威尔把数学看作是心智的自由创造。它是从自明的原始概念得到原初直觉，再进而构造出的数学对象。数学概念嵌入人们的头脑先于语言、逻辑和经验。决定概念的正确性和可接受性的是直觉，而不是经验和逻辑。像形式逻辑这样构建起来的体系，仅仅可以作为描述规律性的手段而存在，根本不能作为数学的基础。
14.希尔伯特
希尔伯特堪称他那个时代「数学的无冕之王」。大体而言，他以在几何和数学基础上影响深远的研究最为著名；希尔伯特纲领促使可计算理论的发展；他收集了二十三个问题，现称为希尔伯特问题，对二十世纪数学发展的进程产生了深远的影响，其中仍有许多问题尚未解决。
希尔伯特提倡数学公理化。除了在各领域有杰出的成就外，他将几何严格公理化的想法很快普及到数学的各领域，而他自己也认真学习物理，想把物理的各分支公理化，不过他在物理学公理化方面的成就有限。1922年，希尔伯特转到研究公理化本身，希望证明一般的公理化系统在独立性、一致性及完备性都不成问题。但1930年代，哥德尔（Kurt Godel）的几篇论文却使这样的希望未能完全实现。
希尔伯特曾经说过：「我们必须知道，我们必将知道。」在数学哲学的层面上，他就代表了形式主义。形式主义将数学视为一个形式系统。这个形式系统里面，有着各种人为定义的符号，系统的构建，就是基于这些符号的逻辑推理。在形式主义者看来，这个系统在宏观上讲，还要有一致性。
这可以说是形式逻辑发展的极端形态。简单的例子，比如我们都知道的欧氏几何，就是从几个公理逐渐推导出关于三维空间的各种性质，修改一下相关的公理，就产生了系统的的射影几何与非欧几何。
在这种推证下，公理的有效性不一定是满足人类的直觉与经验的，只要它的推证过程是逻辑一致的就行。因此，数学就变成了一套给定初始条件与规则的游戏，不一定反映实体世界，也不考虑前提的绝对真假。
当然，后来哥德尔不完备性定理的出现给予希尔伯特的形式主义纲领很大的打击。这也说明了，形式主义逻辑相较于具有反身性的辩证逻辑，确实不能构建十分宏观而完备的形式系统。
15.维特根斯坦
维特根斯坦（Ludwig Josef Johann Wittgenstein）是20世纪最有影响力的哲学家之一，其研究领域主要在数学哲学、精神哲学和语言哲学等方面。他在生前出版的著作不多，其中包括一本75页的《逻辑哲学论》。这本书完成后，他认为自古以来所谓的哲学问题已被解决。由此他被视为分析哲学的创始人之一。
他的哲学主要研究的是语言。他想揭示当人们交流时，表达自己的时候到底发生了什么。他主张哲学的本质就是语言。语言是人类思想的表达，是整个文明的基础，哲学的本质只能在语言中寻找。他消解了传统形而上学的唯一本质，为哲学找到了新的发展方向。在之前，哲学家康德认为数学是先天综合判断。由于数学是先天的，所以不依赖于经验。而维特根斯坦认为数学并不是对柏拉图意义上的理念世界的描述，而是人类在生活以及语言中的规定。他进一步认为逻辑与数学不过是产生于人类直觉的两种语言游戏，攻击数学上的唯实论以及柏拉图主义。
维特根斯坦在后期已经不再强调科学和逻辑了，他相信通过日常分析，特别是语言的分析来纠正我们的思考。许多人认为维特根斯坦的哲学谈论方法更加接近古希腊，像苏格拉底那样在灵感和直观的鼓舞下肆无忌惮地谈论或怀疑有可能想到的任意一个问题。而这点确实不太像现代的风格。其实数学哲学在他这里解构成了语言学问题，而又在建构中重回哲学。
图为维特根斯坦
16.哥德尔
哥德尔最杰出的贡献是哥德尔不完全性定理。在20世纪初，他证明了形式数论系统的「不完全性定理」：即使把初等数论形式化之后，在这个形式的演绎系统中也总可以找出一个合理的命题来，在该系统中既无法证明它为真，也无法证明它为假。这一著名结果发表在1931年的论文中。
他的工作对公理集合论有重要影响，而且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。此外，哥德尔还从事哲学问题的研究。他热衷于用数理逻辑的方法来分析哲学问题，认为健全的哲学思想和成功的科学研究密切相关。他自称为「客观主义」，并说他的客观主义观点对于他的逻辑研究来说是根本的。
哥德尔不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基（Alfred Tarski）的形式语言的真理论和图灵（Alan Mathison Turing）的图灵机不可判定问题，一同被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
简单地说，第一条定理指出：任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺（Giuseppe Peano）的算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能证否的命题。这条定理是在数学界以外最著名的定理，也是被误解最多的定理之一。形式逻辑中有一条定理也同样容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。
把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出：任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。
希尔伯特曾提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，或许可以用较为简单的体系中的手段来证明。而这个结果破坏了希尔伯特计划的哲学企图。数学哲学中的形式主义在某种意义上得到了挫败。
哥德尔不完全性定理一举粉碎了部分数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎数学家外尔（Hermann Weyl）发出这样的感叹：「上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。」
哥德尔不完全性定理的影响也远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学、宇宙学等等。
结语
自古以来，数学与哲学之间就有密不可分的联系。它们的发展互相促进，一同佐证了人类理性思想的光辉胜利。数学在一次次哲学基础的完善中克服了危机，哲学也因为数学的具体结论而得以进步。目前看来，数学哲学中的三大主义各有所长，都不能完整概括整个数学的结构体系。数学确定性、完备性、体系性的完善，往往是要在三者的交替作用下中进行的。
而且如同哲学已经发展出了分析哲学的模式，随着数学的现代深入发展，数学的「宏伟蓝图」本身也进入了局部的和具体操作的技术层面，一个人已经很难同时精通数学和哲学两门学科。但是我们应当坚信，哲学在数学研究中仍然起到了潜在的巨大作用，理性与逻辑的思想乃是产生全新数学方法的重大条件；数学的进步也仍会给哲学思辨带来灵感。数学的植株必然会在哲学的土壤上结出硕果；而哲学的土壤也必然会得到数学的植株之保护与涵养！
