数学三人行（一）
数学三人行
注：本文为数学长征向青羽所约系列稿件之一，有一定的思想深度，请认真读完。
数学之于人应该更多地作为思想而非工具。数学的体系，就像老子所说，一生二，二生三，三生万物。我们学习数学工具的目的和内涵，实质上都是培育数学思想，即从那万物中寻找共性，即那本初的一。只有掌握了数学思想，以此来能指导数学工具的使用，才算是真正掌握了这个工具。
我不清楚读者是否有这样的体会，在我眼里，大部分人都认为数学是一门枯燥无味的学科，且有许多人视其为畏途。人们在中学学数学，不过是为了自己能读个好大学；大学学数学，不过是为了不挂科，反正自己的专业也用不上多少数学知识。从何时起，数学成了人们厌倦而不得不面对的学科，或者是获取利益的工具。
我不知道读者是否思考过这样的问题，无数人坐享着数学发展的成果——发达的通信技术，应用于手机和计算机中的芯片，时速300km/h的高铁等等。社会也享受着数学带来的利益——数学建模使得社会资源得以更加合理地分配、控制，数学带动前沿科技发展等等。为何我们无需具备多少数学知识，就能驾轻就熟地使用最高深的数学思想凝结的产物。即数学在生活中的体现，更多的是工具而非思想，数学思想只是极少部分人具有的特殊天赋。而我们在任一时期的数学学习，不过是处理数字和符号，证明已有答案的命题，如此学习数学于我何益？
我曾在不同的书中得到了不同的答案，但书中的例子并不能使我满意，书中谈及学数学的好处，总是指向数学“工具性”的一面，没有从根源说明这个问题。它的根源在于：数学应该更多地作为“思想”还是“工具”？我想向读者分享一次令我难忘的对话，在这次对话中，我比较了数学的思想性和工具性在生活中即人身上的体现，然后我们继续探讨更深的话题，最终使我对数学的认知产生了深刻的影响。
湖边亭
我是一个大学生，在某211大学一个工科专业就读。据我的观察，尽管是在211这样的名校学府中，大部分人仍对数学所知甚少，学习数学不过是保证自己能顺利毕业。成绩好的人，可能指望数学成绩能使自己多拿奖学金或者保研。当然学校里也有许多厉害的人物，他们熟知许多数学公式和定理，也具有异于常人的解题能力，数学对他们来说，很大部分是兴趣，而非追求。仅有少部分应用数学专业的同学，对数学的态度称得上是追求吧。
我大致属于前者 “厉害的人物”，因为我从小就喜欢数学，小时候单纯是因为数学成绩好，中学时期接触到数学史和一些趣闻，对数学有了更多的认知，那些数学家的形象，在我心中逐渐神圣化、理想化，但我深知我的天赋难以企及这样的高度，因此我认为我以后或许会是个业余数学家吧。我的朋友属于后者，他是应用数学专业的学生，无论是解题能力，知识储备，对数学的理解都异于常人，且他有志向于追求高深的数学领域。
学校内的环境非常好，正值深秋时分，每当风声簌簌，则有银杏叶落，铺天盖地，静美而壮观。校园中心有一座湖，湖面似镜，清澈而晶莹，数片落叶静躺在边缘，宁静而安详。时有白鹭掠过湖面，穿梭于湖岸柳条间，也有鸳鸯成对游过，在水中嬉戏，不失灵动而颇有意境。
当时正是傍晚，我和我的朋友正在湖岸边的一座亭内闲坐。我们有一个约定，每到周五晚上只要无事，就来亭内坐一会，算是庆祝一周学习的结束。我们有时候会探讨一些数学问题，或者思考一些哲学问题，当然也有时候什么也不做，只是静静地欣赏湖中的美景。这座亭内一般是很安静的，除了偶有白鹭的叫声外，也仅能听到更远的边上学生跑步的声音。深秋的落霞，映红了半边湖面，湖对面的图书馆依然灯火通明。但尽管如此，湖面上也被染上了丝丝暮意。
似乎是被这番意境感染，对我产生了某种冲击，我看了一下我的朋友，他正看着湖面，也是若有所思。“读大学以来，感觉自己离真正数学的殿堂越来越远了”我说，“数学已经更多的作为工具而非思想。”
他转过头来看向我，似乎对我说的这番话带有疑惑，他问道：“怎么很远？我们不是每天都在学数学吗？而且像数分、代数、几何、微分方程，这几个方面好歹我们也接触了很多东西了。”
“不，你没有理解到我的意思。中学时候的我，可以为发现一个新定理兴奋一整天，每当了解到一段有趣的数学故事，我会迫不及待地与身边人分享，我愿意花上两周的功夫来思考一道难题，我愿意不厌其烦地对熟知的命题加以证明，我愿意接触一些高深的数学领域，费上好一番功夫来理解一篇论文每一个名词和式子的意义。而现在的我，对这些新东西只是平淡地接受，再难以产生像以前那般的热情。甚至，我已经察觉到，有许多概念在我脑中逐渐模糊，当我尝试证明一些命题时，也开始变得力不从心，思维不像原来那样的敏捷。这种宛若〖失忆〗和〖退化〗的感觉不是我们现在接触的这些东西能弥补的。相反，我现在学的高数和线代，具有太多的数学概念，我难以像高中时期一样，对每一个概念都挖掘其背后的东西，这就使我对这些概念的理解局限于一些低观点。而正是这样大量知识对我的〖填充〗，使我逐渐疲于接受，而怠于探求。”
我的朋友见我情绪这样低落，立即安慰我说：“你也不用这样担心，其实你的数学天赋已经非常高了，我相信你只要愿意花上一点时间，就能找回所有你失去过的东西，我也相信你工作以后，可以熟练地应用你所学的数学知识。再说了，知识经常不使用而忘记是很正常的，实际上你的专业很少能用到像群论、实变函数论这样的知识吧，或许你可以减少对此类领域的涉猎，来精研你现在拥有的如微分方程、线性代数这样常用的知识。以你的数学天赋，或许还可以通过建模竞赛来保研呢，以后出来了，又有光明的就业前景，又有高额的薪资待遇，有什么好担心的呢！”
“听你这么一说，我似乎明白了，你所说的话，似乎点醒我了！”我说着并转头看向我朋友的眼睛，他的眼里带有疑惑与等待，而我的目光注视着其背后更深层的固然意识，“正是这种思想，在束缚我对数学的追求，那就是对于像我这样的工科生，数学只需要作为工具便足够！这样的思想应该是大众普遍所认可的，我之前一直没有察觉到它的存在，而今才渐渐明了：一个工科生，若是能熟练地应用数学来解决一些实际问题，便足可谓优异。这种把数学视为工具的思想是何其的理所应当！然而这其中会不会有问题？数学之于人的意义，到底是什么？仅仅是处理数字或者处理符号么？若是这样，那么类似的，我能否说音乐之于人的意义仅在于处理音符，或者说哲学之于人仅在与处理语录？我认为数学对于人应当具有更深远的影响，即在人的脑中形成数学思想，因为数学思想才是掌握数学的精髓。
数学思想，我们通常认为它的范围非常广泛，它指对数学事实与理论进行概括后产生的本质认识。当我学到线性空间的时候，我惊叹于它数学思想的充分体现：将一些矩阵、函数、多项式方程、微分方程、差分方程的共同性质抽象成〖线性〗，从而使一些运算变得十分简洁，例如结构定理在解线性方程领域指明了一个广泛可行的方法。又比如数形结合思想的体现：利用维恩图来处理集合的运算，使得问题得以简化，运算便捷明了；笛卡尔结合了代数与几何，引入坐标系并建立了解析几何，使许多问题又有了一般化的方法。数学思想不仅能帮助我们更好地理解数学，更能够反过来促进数学的进步。
即便是在非数学领域，数学思想亦能光芒万丈。在数学产生、发展的历史长河中，人们建立数学模型来解决那些需要数量规律的现实问题，并获了得巨大的成功。建模思想体现在日常生活的方方面面，例如合理投资问题，住房公积金问题、新技术的传播问题、最优捕鱼问题、传染病的流行问题等等。在社会层面，社会资源的合理分配，地铁、公交线路规划，校园网的设计和调节收费问题等等，无不需以数学模型为指导。在现代，数学还与计算机技术相结合，形成一种普遍的、可以实现的技术——数学技术，成为当代高新技术的重要组成部分。
如果我们不具备相应的数学思想，而去使用那些数学工具，会怎样呢？我想应当是只知其然而不知其所以然吧，或者说徒具形体而失其灵魂，就像是搬运工日复一日在两地间来回，制药厂的工人重复执行着相同的动作，一言以蔽之，就是机械！人们机械地生搬硬套，或许在某一领域能取得很大的成功，能熟练地应用那个领域的知识，而一旦离开他的领域，他或许就一无所知。当他某一天发现，他以前不懂的事物与他熟知的事物其实是相同的数学思想产生的两种不同的事物，这两者除形式上不同以外其余内容丝毫不差，他该是何等的惊异。（我这里的“机械”指的是在一个小领域精通，而对领域外的一切陌生。相反不机械的人，应该知道自己这个领域内本质的东西，并能触类旁通。数学思想是一切自然科学领域及绝大多数其它领域背后最本质的事物）
我们具有数学思想后，在绝大多数领域都能很快的熟悉一切，因为我们已经掌握了这些领域背后最本质的东西，而任何一个学科都是借用已有的数学体系，在其中建立一些新的规则和定理。”
“等等，我需要理解一下。”我的朋友似乎对我愈发激烈的发言有些吸收不了，我也需要缓一缓来对我刚才的言论如何加以辩证做一些思考。我起身向前走去，走到亭边的栏杆旁，凭栏远望，隔着湖对岸图书馆的玻璃窗，隐约可见一些坐在案前学习的同学，他们或是在准备考研，或是有着理想而正为之奋斗，也或是内心不知所属，仅仅希望从书本中寻找一种踏实。无论他们最终何去何从，其实都不过是某一领域内，一个能比其他人挣更多钱的生物？
“你刚才说到，数学思想无论是在数学还是非数学领域都具有无可替代的作用，这一点我绝对赞成你的观点。”我的朋友走到我身旁，说道：“而后你后面的话似乎意有所指，你想了一种极端情况，即不具备数学思想而能熟练应用数学工具的人。通过你的比喻，他们在某一行业的地位，就相当于某一庞大机械上的一个零件，只会执行上面的指令，并不能指导这个庞大机械向着更大、更完美的方向前进。而具有数学思想的人，他们可以担任这一庞大机械的“大脑”，他们或许可以使这个机械与其他的机械相互借鉴，甚至交融，或许可以深度发掘这个机械的潜能，或者可以将一些新的事物引入进来，作为这个机械新的组成部分。也就是说，只有具有数学思想的人，才能作为某一行业的〖首脑〗，来决定这一行业未来的高度。通过此，你想表达的最深层的意思其实是想将〖数学思想〗与〖数学工具〗的重要性做比较？”
我思考了一会，然后点了点头。我的朋友见此，笑了笑，又转头去看向湖面，此时晚霞已将整个湖面映成了红色，天气也渐渐开始转冷，白鹭也不再飞行，静静地站立在礁石上。“可是我认为要作出这种比较是不现实的。事实上你也注意到了，我们刚才说的话都非常的不严谨。数学工具不可能脱离数学思想而存在，前者是后者的＇形＇，没有数学工具，数学思想也无法体现。既然无法将其二者独立，又如何能较之高下呢？”
“我也在想这个问题。”我叹了口气，诚然，我无法独立地比较数学工具和数学思想的重要性，但我仍认为我发现了某个十分确凿的事实，我坚信我可以论证出它的必然性及合理性：数学之于人应当更多的作为思想而非工具。
三人行
然而我仍找不出什么样的论证思路，索性转过身来不再面对湖面，似是这片湖已经无法再给我什么启示。而正当我转身时，我看到了那个熟悉的身影——我的高数老师。他正站在亭边的小路上，背着手看着我俩。他一直在听我们说话？我心里想。
“你们两个，聊什么呢？”老师笑着朝我们走来，“可以说给我听听么？”说罢，他很自然地坐下来。
“老师，您在听我们说话？”
“没有，只是听到了一些很有意思的内容”他说着并转头看向我的朋友，“你们在讨论数学思想的各种体现及作用，最后又想比较它和数学工具的重要性”然后又看向我，“如果结合你们受的教育来想想呢？”
“小学不过是学了些运算规则，中学接触到纯几何、代数、解析几何、统计、微积分等方面一些粗浅的知识，而这些知识不过是帮助我来证明或解答已有答案的命题，尽管一些题目非常有意思，运用到许多宛如神来之笔的技巧，但我对这样的学习过程仍不甚满意。
于是我开始自学一些学校学不到的东西。我接触了近两千年的数学史，其瑰丽壮观程度使我对数学的态度从喜欢偏向崇拜。我也接触到一些高深的领域并深深为之吸引，例如奇妙幻丽的分形与混沌，极度抽象的图论与非欧几何，再如数学分析和微分方程等等，我总是先学到数学家的“方法”，再从这些方法中看到他们的思想。
上了大学后，我接触到越来越多新的工具，但我对这些工具的使用仍不自然，我觉得是因为我没有掌握其背后的数学思想吧。在高数中，我看到了许多关于函数的运算如莱布尼兹公式，它们与数的运算十分相似，但相似的原因我还没理解透彻。再比如线性空间里，许多东西都非常抽象，理解起来十分困难。”
“对，如果不理解数学思想而去使用数学工具的话，是十分生硬的。即数学工具的使用必须要以数学思想为引导。但另一方面，数学工具的使用能促进数学思想。正如你们中学做了那么多题，最重要的不是要让你们会做题本身，而是要有会做题的数学思想。”
“等等，我似乎又懂了什么”我看向老师，眼中顿时泛出熠熠神采，“古希腊时期，柏拉图学院门前立了一面牌，上面写着：不习几何者不得入内。然而学院内经常是讨论一些社会学和经济学问题。由此可见柏拉图的意图并不是想要学生具有的几何知识，而是长期学习几何训练而来的数学思维。
实际上我们工作以后也是如此，大学里学的知识，能用上的很少很少，但学的愈多、愈深，凝结出的数学思想就越深，真正能发挥作用的，其实是数学思想。”
我的老师会心地笑了：“所以说，对于人，掌握一种数学思想的重要性远胜于掌握几种甚至几十种数学工具本身。即是说，数学之于人应该更多地作为思想而非工具。数学的体系，就像是三生万物。我们学习数学工具的目的和内涵，实质上都是培育数学思想，即从那万物中寻找共性，即那本初的一。只有掌握了数学思想，以此来能指导数学工具的使用，才算是真正掌握了这个工具。”
我点了点头，老师的话似乎蕴含着许多的信息量，在这次谈话中，许多内容并没有严密地论证出来，但这都是我目前所相信的。我若有所得，转身面向了湖面，此时天色也已经暗了下来，夜晚并不寂静，还有带着丝丝凉意的风。
老师皱了皱眉头，继续问我：“既然你这么喜欢数学，当时报志愿时为什么不报数学专业？”我听完内心感到一震，我的朋友也偏着头看向我，在等待着我的答案。而此时我的双眼里只有一片黯然，内心也在追问自己当时为什么要做这样的决定。当我沉思片刻后，我终于忆起了当时做出决定的原因。
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