250个数学难题：8
奇异基数问题
The Singular Cardinals Problem
比连续统势确定问题更一般的问题是无穷集合之幂集的势确定问题. Cantor 1873 年证明了任何一个集合的幂集的势一定严格大于那一集合的势. 那么, 给定一个无穷集合 X, 假设 X 的势为 ℵα, X 的幂集 P(X) 的势是哪一个 ℵβ 呢? Cantor告诉我们 β α + 1. 戈德尔告诉我们假定 β = α + 1, 也就是一般连续统假设, 不会导致任何矛盾.
这里出现了一种刚开始令人不可思议的局面. 按照定义, 无穷基数被分为两类：一类是正则基数, 另一类是奇异基数 (它们是某一组单调递增的比较小的正则基数的短序列的极限, 以一个奇异基数为极限的所有这样的序列中最短序列的长度被称为该奇异基数的梯度).
在 Cohen 1963 年的工作之后, Easton[2] 用类力迫方法证明了现有集合论公理体系对于正则基数的幂集的势能够说的就只有那早已众所周知的三个不等式. Eastom 的工作留给人们一个问题：那么奇异基数的幂集之势又将如何呢? 也就是说,奇异基数的幂集的势都有什么样的可能性呢? 于此问题直接相关的一个重要假设如下：
奇异基数假设 如果一个奇异基数 ℵα 的梯度 κ 的幂集的势小于 ℵα, 那么所有从 κ 到 ℵα 的函数的全体所成之集的势为 ℵα+1.
在奇异基数假设之下, 任何一个奇异基数的幂集的势则完全由比它小的正则基数的幂集之势的上确界唯一确定.
Silver[7] 证明了任何一个具有不可数梯度的奇异基数都不会是一般连续统假设的第一个反例. 紧接着, Jensen 证明极其深刻的覆盖引理[1], 从而将奇异基数假设的真假与否同大基数的存在性紧密地联系起来. Magidor[5] 第一个从大基数出发,证明了最小的奇异基数可以成为一般连续统假设的第一个反例的可能性. 这些结果表明奇异基数的幂集的势的确定问题同正则基数的幂集的势的确定问题有着本质的差异. 后来, 同样从大基数出发, Foreman 和 Woodin[3] 合作证明了一般连续统假设可以处处不成立. 于是, 我们看到了有关幂函数之势的两种完全极端的局面.
迄今为止, 最根本的悬而未决问题依旧是：幂函数的势到底怎样取值? 到底该如何计算? 将这一问题限定到奇异基数之上便有如下的奇异基数问题：
找到一组完全刻画奇异基数的幂集之势的取值范围的性质或者一套完备的有关奇异基数的幂集之势取值的计算规则.
一个比较具体的问题就是：假设对于每一个自然数 n 都有 ℵn 的幂集之势为ℵn+1, 那么第一个奇异基数 ℵω 的幂集之势是否一定严格小于 ℵω1(第 ω1 个基数)?
在前述 Silver 的工作[7] 之后, Galvin 和 Hajnal[4] 首先对一类奇异基数的幂集之势给出了上界计算公式. 接下来, Shelah 在这个问题上完成了非常突出的工作.他的 pcf 理论给出了关于一类奇异基数的幂集之势的很好的上界. 比如, 关于上述具体问题, Shelah 证明了在相应 (实际上稍弱) 假设条件下, ℵω 的幂集之势小于ℵω4. 在 Shelah 的 pcf 理论中也有一个悬而未决的关键问题：给定一个满足不等式|a| < min(a) 的正则基数的一个集合 a, 是否一定有等式 |pcf(a)| = |a|? 欲知详情请见文献 [6].
参 考 文 献
[1] Devlin K J, Jensen R B. Marginalia to a Theorem of Silver. Berlin: Springer-Verlag,1975, 115-142
[2] Easton W B. Powers of regular cardinals. Annals of Mathematical Logic, 1970, 1: 139-178
[3] Foreman M, Hugh Woodin W. The generalized continuum hypothesis can fail everywhere. Annals of Mathematics, 1991, 133(2): 1-35
[4] Galvin F, Hajnal A. Inequalities for cardinal powers. Annals of Mathematics, 1975,101(2): 491-498
[5] Magidor M. On the singular cardinal problem. II, Annals of Mathematics, 1977, 106(2):514-547
[6] Shelah S. Cardinal Arithmetic. New York: The Clarendon Press, Oxford UniversityPress, 1994
[7] Silver J H. On the singular cardinal problem // Vancouer B C. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1974, Vol 1, Canad Math Congress, Montreal,Que, 1975, 265-268
撰稿人：冯 琦
中国科学院数学与系统科学研究院
