勾股定理的高维推广

直角四面体的勾股定理

在平面内，勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，如图1，有：

$a^2=b^2+c^2$

图1

应用勾股定理可以从直角三角形中任意两边长计算出第三边长.

下面，将此定理向更高维度推广一下，

如图2，在四面体 $P-ABC$ 中，$\angle PBC=\angle PBA$ $=\angle ABC=\dfrac{\pi}{2}$ ，

图2

设 $S_1,S_2,S_3$ 和 $S$ 分别表示$\triangle PAB,\triangle PCB$ $, \triangle ABC,\triangle PAC$ 的面积，有：

$S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$

此即为“直角四面体的勾股定理”