裂项相消法2——根式型

裂项相消法2——根式型

裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之差的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同，可以分为多种类型，本期讲根式型.

裂项相消法——根式型

该类型的特点是分母是两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常把分母缩放成两个根式之和，来达到消项化简的目的.  

常见的有：

$\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ $= \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

更一般地，有：

$\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+k}}$ $=\dfrac{1}{k}( \sqrt{n+k} - \sqrt{n} )$

【例1】计算

$\dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$ $+\cdots$$+\dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$  

解，原式

$=\sqrt{2}-\sqrt{1}$ $+\sqrt{3}-\sqrt{2}$ $+\sqrt{4}-\sqrt{3}$ $+\cdots$ $+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

$=\sqrt{100}-\sqrt{1}$ $=9$

【例2】计算

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{8}}$ $+\cdots$$+\dfrac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{100}}$

解，原式

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{2}$$(\sqrt{4}-\sqrt{2}$ $+\sqrt{6}-\sqrt{4}$ $+\sqrt{8}-\sqrt{6}$ $+\cdots$ $+\sqrt{100}-\sqrt{98})$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$+\dfrac{1}{2}(10-\sqrt{2})$

$=5$

【例3】对于$n \geqslant 2,$ $n \in \bold N$ , 证明：

$2\sqrt{n+1} -2$ $<$ $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}$ $+\cdots$ $+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ $<$ $2\sqrt{n} -1$  

分析：

先把通项进行放缩后再裂项相消。

证明：因为

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=$ $\dfrac{2}{2\sqrt{n}}$

$>\dfrac{2}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}}$

$=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

所以

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$+\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $+\cdots$ $+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

$>2(\sqrt{2}-\sqrt{1})$ $+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$$+\cdots$ $+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

$=2\sqrt{n+1}-2$

又因为

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}$

$<\dfrac{2}{\sqrt{n} +\sqrt{n-1}}$

$=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

所以

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $+\cdots$ $+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

$<1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})$ $+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ $+\cdots$ $+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

$=2\sqrt{n}-1$

得证.