根号3的连分数表示方法

无理数的连分数表示

有理数可以用分数表示，无理数则可以用连分数表示.

$\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

$=1+(\sqrt{3} -1)$

$=1+(\sqrt{3} -1)(\dfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{3} +1})$

$=1+\dfrac{2}{\sqrt{3} +1}$

$=1+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3} +1}{2}}$

$=1+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3} +1+1 -1}{2}}$

$=1+\dfrac{1}{1+ \dfrac{\sqrt{3} -1}{2}}$

$=1+\dfrac{1}{1+ \dfrac{\sqrt{3} -1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{3} +1}}$

$=1+\dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{\sqrt{3} +1}}$

$=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}}}}$

因为$\sqrt{3}$ 是无理数，这个连分数可以一直写下去，无穷无尽，其序列为：{1,1,2,1,2,1,2,1, ...}

其它无理数

$\sqrt{2}$ 的连分数无穷序列为：{1,2,2,2,2,2,2,2, ...}

黄金全割数 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 的连分数无穷序列为：{1,1,1,1,1,1,1,1, ...}

e的连分数无穷序列为：{2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1 ...}