月明中讲复变函数（二）

不知道复变函数有什么用？知道黎曼猜想吗？如果想看懂这一猜想，需要先懂复变函数.

复变函数（二）

数学长征，月明中

复变函数就是自变量为复数的函数.我们研究的主要对象，是在某种意义下可导的复变函数，通常称为解析函数，为建立这种解析函数的理论基础，我们首先引入复数域与复平面的概念.

形如

   $z=x+iy$ 或 $z=x+yi$

的数，称为复数. 其中 $x$ 和 $y$ 是任意的实数，$i^2=-1$ ，称为虚数单位，实数 $x$ 和 $y$ 分别称为复数$z$ 的实部和虚部，常记为:

   $x=Rez$ ，$y=Imz$

复数$z_1=x_1+i y_1$ 及$z_2=x_2+i y_2$ 相等，是指它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等，即

$x_1+i y_1=x_2+i y_2$

必须且只须

  $x_1=x_2$ ，$y_1=y_2$

虚部为零的复数就可看作实数，即$x+i \cdot 0=x$ . 因此，全体实数是全体复数的一部分，特别地，$0+i \cdot 0=0$ .

虚部不为零的复数称为虚数，实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数.

复数$x+iy$ 和 $x-iy$ 称为互为共轭复数，即$x+iy$ 是$x-iy$ 的共轭复数，或 $x-iy$ 是 $x+iy$ 的共轭复数. 复数$z$ 的共轭复数常记为$\overline{z}$ .

于是

$x-iy=$ $\overline{x+iy}$

对于这样定义的复数，我们必须规定其运算方法. 由于实数是复数的特例，规定复数运算的一个基本要求是，复数运算的法则施行于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，同时也要求复数运算能够满足实数运算的一般定律.

复数的加减法可按实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即复数$z_1=x_1+i y_1$ ，$z_2=x_2+i y_2$ 相加减法的法则是:

  $z_1 \pm z_2=(x_1 \pm x_2)+i(y_1 \pm y_2)$ ，

结果仍是复数. 我们称复数$z_1+z_2$ 是复数 $z_1$ 与 $z_2$ 的和，称复数 $z_1-z_2$ 是复数 $z_1$ 与$z_2$ 的差.

复数的加法遵守交换律与结合律，而且减法是加法的逆运算，请读者自行验证.

两个复数$z_1=x_1+iy_1$ 及$z_2=x_2+iy_2$ 相乘，可按多项式乘法法则进行，只须将结果中的$i^2$ 换成$-1$ ,即

 $z_1 \times z_2$ =$(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$ ,

结果仍是复数，我们称它为 $z_1$ 与 $z_2$ 的积.

也易验证，复数的乘法遵守交换律与结合律，且遵守乘法对于加法的分配律.

两个复数$z_1=x_1+iy_1$ 及$z_2=x_2+iy_2$ 相除(除数≠0)时，可先把它写成分式的形式，然后分子分母同乘以分母的共轭复数，再进行简化，即

   $\dfrac{z_1}{z_2}$ $=$ $\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{{x_2}^2+{y_2}^2}$$+i \dfrac {y_1 x_2-x_1 y_2}{{x_2}^2+{y_2}^2}$ ，（$z_2 \ne 0$ ）

结果仍是复数，我们称它为 $z_1$ 与 $z_2$ 的商，这里除法是乘法的逆运算.

全体复数并引进上述运算后就称为复数域，在复数域内，我们熟知的一切代数恒等式，如像

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ，

 $a^3-b^3=(a-b)(a^2 +ab+b^2)$ ，

等等，仍然成立.实数域和复数域都是代数学中所研究的「域」的实例.和实数城不同的是, 在复数域中不能规定复数的大小. 事实上，若有像实数那祥的大小关系，由于非零实数的平方大于零，而 $i \ne 0$ ，则应有$i^2 >0$ ，即$-1>0$ ，这是不可能的.