数学方面的能力该怎么培养？

数学方面的能力该怎么培养？

知乎：王小龙

数学系博士怒答！

我想大家都有这样的体会：小学的时候你根本不知道初中数学是什么样，高中的时候你根本想不到大学数学是什么样。而大学生，如果你不专注于数学，恐怕也不知道现代数学是什么模样。下面将分别从学数学的动机、数学不同学科的分类以及如何切实可行培养数学能力等几个方面阐述如何学习数学。

如何学好数学

一、认清你的需要

为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

1.1 你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

1.2 你的目标是能够熟练运用高等数学来解决问题，掌握科学研究的武器，你可能立志进入计算机视觉、经济学或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

1.3 你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

二、给自己足够的动力

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实想必大家都深有体会：

1. 凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，还记的清楚吗？

2. 凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，因为既没意思也不知道有什么用。

3. 小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（可以以此类推）。因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

三、高等数学学什么？

好了，来看看标准大学数学的科技树：

一级：

线性代数（矩阵论），数学分析，概率论，囊括了分析、代数和几何的基础理论。其中虽然概率论只是一门建立在分析上的应用理论，但它是描述真实世界如何运转的理论，是很多学科研究的基石。

二级：

有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：测度论（积分的基础，也是概率论的基础），近世代数（研究群环域等代数结构，是代数的基础），拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推广），复变函数（分析的推广），常微分方程与偏微分方程（分析的推广），数理统计（概率论的深入），随机过程（用概率论和微分方程研究随时间变化的过程），微分几何（分析和几何的结合）。

然后是一些小清新和应用学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。

三级：

再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不通，下一层看天书。

四、如何学习

4.1 适量做题

千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

4.2 了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：

这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子。学习线性代数时很多人不理解SVD分解有什么用，但如果你以后继续从事研究工作，就会发现SVD分解是最有用的代数工具之一。比如优化论的一个核心目标是建立一个模型，让它对真实世界中的现象的预测能够尽量准确，对这些模型的求解往往要通过SVD分解来实现，如果你对矩阵理论比较了解，以后在工程上也会感到得心应手。

4.3 渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，具有双线性结构。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。学习拓扑学最好的教材是Munkres的旷世名著《拓扑学》，脑子里有了相关概念再去读其他教材，或多或少又会接触到同样的概念，你的理解就加深了。比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

4.4 建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

4.5 关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好谈谈一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘。学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程实现图像序列的三维重建。学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服。《Ray Tracing from the Ground Up》是一本介绍如何用光线追踪技术渲染真实场景的书，把一些虚拟物体放在一个虚拟的场景中，用虚拟的摄像头拍摄图片，生成逼真的照片，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

简言之，高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学、金融......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

4.6 找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示“这个东西其实很有趣”，“这个东西完全不是你想的那个样子”等等，他们成功了。还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

五、多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

5.1. 推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）

第一级：

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（内容极其丰富。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看国内教材，然后回过头来再看这个）

复旦大学《概率论》

第二级：

Artin《Algebra》

芒克里斯《拓扑学》

图灵丛书的一些分册

柯斯特利金《代数学引论》

Vapnik《统计学习理论的本质》

Rudin《数学分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《复分析》

彭家贵《微分几何》(这本书非常棒，不过后来我发现它大部分是复制do Carmo的书中的内容。)

Cover《信息论基础》

第三级：

微分流形方向：

Do Carmo《黎曼几何》

Boothby《微分流形与黎曼几何》

A. Zee《Einstein Gravity in a Nutshell》

交换代数与代数几何：

Rotman《An Introduction to Homological Algebra》

Eisenbud《Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry》

微分方程：

Evans《Partial Differential equations》

Gardiner《随机方法手册》

在这里想多说几句。虽然我在数学系，但是研究方向是计算机视觉，读数学书对我来说纯粹是消遣，和打游戏没什么区别。这些教材可能在专业人士的眼里只能算是入门基础，但是在我看来它们相当难，读着很吃力，并且提供的观点相当高级，因此我把它们归为“第三级”数学。

我对微分流形一直很感兴趣，最开始看的是Do Carmo的《黎曼几何》，没有读懂。我后来琢磨，原因可能是没有做习题。后面我看了各种各样的书，包括Do Carmo的另一本小册子《Differential Forms and Applications》，Dodson的《Tensor Geometry》，还有Bishop的《Tensor Analysis on Manifolds》等，对相关概念有了一定认识，但是还是感到有些困惑。直到读到Boothby的《微分流形与黎曼几何》才让我真正感觉到自己弄懂了。这本书写的非常罗嗦，也比较厚，这正是我需要的 —— 一本专门为玩票和健忘家所写，不停反复强调各种概念，证明详细的书。后来我又回头去读最开始读不懂的那本Do Carmo的《黎曼几何》，其中有一半我已经懂了，另外一半当我静下心来仔细琢磨，发现作者虽然证明简略，但是复杂的部分却一点没省，如果仔细思考，完全能够掌握。后来我又读了A. Zee的《Einstein Gravity in a Nutshell》。这是一本讲相对论的书，把微分流形和相对论、牛顿力学、变分法串了起来。作者在书里一遍又一遍地反复讲解各种概念，阅读体验极佳。

大概几个月前，我对交换代数和代数几何产生了兴趣。因为有Munkres《拓扑学》和Artin《代数》的基础，我就买了本Risenbud的《Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry》，这本书评价很棒，作者的态度也很友好，论述清晰，但我还是感到难以阅读，只好尝试看其他相关教材，包括Zariski的《Commutative Algebra》，AtiYah和Macdonald的小册子《Introduction to Commutative Algebra》以及Matsumura的《Commutative Ring Theory》。这些书都非常有名，虽然也可以继续往下读，但我还想再挑挑。数学家可能喜欢这种风格，比如Altman和Kleiman在《A Term of Commutative Algebra》一书里就表达了对AtiYah和Macdonald处理交换代数的手段的赞赏，大意是应该用尽量简洁的语言把各种概念一股脑地抛给读者，让读者自己消化，但是并不对我的胃口。最终，我找到了Rotman的《An Introduction to Homological Algebra》，毫不夸张地说，这是我读过的最好的代数教材，作者在证明定理时，甚至不喜欢用“类似可证”这样的话，坚持把各种细节都写出来，并且几乎每证明完一个定理就迫不及待地给出几个例子帮助我理解。我在网上看到一些人评价这本书“非常罗嗦”，“应该直接从第五章开始看”的言论，这些评价并不适合我，这本书对我的帮助是那些简洁的书所不能替代的，其提供的高级观点正是我期望在“消遣”中体验的。此外，Rotman还有一本1000页的《Advanced Modern Algebra》，涵盖了近现代代数领域所有基础知识，可能值得一读。

举了上面两个例子其实就是想说，读比较难的数学书时货比三家会对人很有帮助。推荐大家去下载美国研究生数学教材系列Graduate Texts in Mathematics(GTM)，有约300本教材。

5.2. 科普教材

《什么是数学:对思想和方法的基本研究》

《高观点下的初等数学》

《巴赫、埃舍尔、哥德尔》

《e的故事》

5.3. 阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

《费恩曼物理学讲义》三册

《混沌与分形：科学的新疆界》

《微分方程、动力系统与混沌导论》

《复分析：可视化方法》

最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。

原文链接：https://www.zhihu.com/question/19556658