250个数学难题：4

高层有限波雷尔 (Borel) 等价关系中的两个问题

Two Problems Related to Hyperfinite Borel Equivalence Relations

高层有限等价关系的研究源自测度理论中的遍历理论, 后来演变成描述集合论 关于等价关系研究的中心概念之一. 而描述集合论关于等价关系的研究又对数学中 的分类问题的复杂性比较提供很好的应用, 相应的综述可见 Hjorth 的专著^[1] .

一个完备可分距离空间 X 上的一个等价关系 E 是一个有限等价关系当且仅 当 E 的每一个等价类都是一个有限集合. 而称 E 为高层有限等价关系当且仅当它 是一系列逐步粗化起来的有限波雷尔等价关系的极限, 准确地讲, 当且仅当存在一 个满足下述三个要求的 X 上的等价关系的序列 $\langle E_n|1 \leqslant n \lt \infty \rangle$ ： 

(1) 每一个 $E_n$ 都是 X 上的一个有限的波雷尔等价关系;

(2) $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \subseteq \cdots$ ;

(3) $E=U_{1 \leqslant n \lt \infty} E_n$ .

Dougherty, Jackson 和 Kechris 在文献 [2] 中提出了一种有关高层有限波雷尔 等价关系结构的抽象理论. 但是下述单增极限问题还是一个悬而未决的问题：

单增极限问题 是否一个给定的完备可分距离空间 X 上的任何一系列逐步粗化的高层有限等价关系的极限一定是高层有限的? 也就是说, 如果 X 是一个完备可分距离空间, $\langle E_n|1 \leqslant n \lt \infty \rangle$ 是 X 上的一个高层有限等价关系的序列, 而且满足 $E_n \subset E_{n+1}$ , E 是 X 上的一个等价关系而且是这个序列的极限, $E= _{1<n<\infty}^{\cup} E_n$ ,

那么, 是否 E 一定也是一个高层有限的?

这里实际上涉及的是一个层次问题. 如果将这样的极限操作继续下去, 我们是 否一定得到一般来讲更为复杂的等价关系呢? 与高层有限等价关系相关的一个问 题是下面的单纯 (amenable) 等价关系问题：

单纯等价关系问题 是否每一个单纯等价关系都是一个高层有限的等价关系? 这两个问题首先由 Weiss 提出 (参见文献 [2]), 看起来好像单增极限问题和单 纯等价关系问题并没有相互导出的可能. 已经知道如果所述空间上有一个波雷尔概 率测度, 那么, 几乎处处都是肯定答案. 但一般性问题的求解十五年来似乎进展不 大. 现在仅仅知道如果一个单纯等价关系是由一个可数交换单纯群的作用而导出, 那么它是一个高层有限等价关系^[3] .

参 考 文 献

[1] Hjorth G. Classfication and Orbit Equivalence Relations. American Mathematical Society, RI, 2000

[2] Dougherty R, Jackson S and Kechris A S. The structure of hyperfinite Borel equivalence relations. Transactions of the American Mathematical Society, 1994, 341: 193-225

[3] Gao S, Jackson S. Countable Abelian group actions and hyperfinite equivalence relations. Preprint, 2007

撰稿人：高 速

美国北德克萨斯大学