费马大小定理及欧拉定理

费马小定理：设 $m$ 为素数，$a$ 为任意整数，且 $(a,m)=1$ ，则 $a^{m-1} \equiv 1( \mod m)$

欧拉定理：设 $m$ 为正整数，$a$ 为任意整数，且 $(a,m)=1$ ，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1(\mod m)$ ，其中 $\varphi(m)$ 表示 $1,2,\cdots,m$ 中与 $m$ 互素的正整数的个数.

$\varphi(21)$ 称为欧拉函数, 当 $m$ 为素数时 $\varphi(m)=m-1$ ，欧拉定理转为费马小定理，即费马小定理是欧拉定理的特例.

一般地，当 $m$ 为大于 $1$ 的整数时，有

$\varphi(m)=$ $m(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(1-\dfrac{1}{p_k})$

其中 $p_1,p_2,\cdots,p_k$ 为 $m$ 的所有互异的素因数.

例如$\varphi(m)=12$ .

费马大定理：当 $n>2$ 时，不可能有满足 $x^n+y^n=z^n$ 的正整数 $x,y,z,n$ 存在.

费马（Fermat，P.de.，1601-1665），法国数学家.

费马在数论、解析机何、概率论等方面都有重大贡献. 费马小定理在1640年提出，但当时没有给出证明.

欧拉（Euler，L.，1707-1783），瑞士数学家.

欧拉是数学界最杰出人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域. 1736年，欧拉第一次给出了费马小定理的证明，并于1760年证明了欧拉定理.