函数概念的起源

函数概念的起源

张顺燕

张顺燕，北大数学科学院退休教授。曾从事于复分析的研究，现在做数学史与数学教育的工作。

数学从对运动的研究中引出了一个基本概念，这个概念在几乎所有的数学工作中占据中心的地位，这就是函数概念。近代分析的主体主要是围绕着函数和极限的概念展开的。深入正确地理解函数概念对学好数学分析具有首要的意义。函数概念走过了漫长的道路，经历了许多中间阶段才达到今天的形式。本文将叙述函数概念发展中的关键时刻，讲述那些原则性的、空出而具体的、且使人难以忘怀的发展。

函数概念的诞生

将自然规律数量化的关键一步是函数概念的引进。伽利略(1564-1642)的落体运动定律，牛顿(1642-1727)的万有引力定律，爱因斯坦(1879-1955)的质能转换公式等都是用函数概念表达的。函数概念的诞生标志着近代科学的开始。

随着变量数学特别是数学分析的发展，函数概念也经历了深刻的变化，这主要是出于数学自身发展的需要。

函数的概念最早出现在J.葛列格里(1638-1675)的文章《论圆和双曲线的求积》(1667)中。他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其它可以想像到的运算得到的。在费马(1601-1665)和笛卡儿(1596-1650)的工作中也已涉及过这一概念。自从牛顿于1665年开始微积分的工作后，他一直使用“流量”一词来表示变量间的关系。莱布尼茨(1646-1716)在1673年的一篇手稿里使用了“函数”这一概念。后来，莱布尼茨又引进“常量”、“变量”、“参变量”的概念。在数学史上，这是一大进瞳，它使得人们可以从数量上描述运动了。

但是，当时的函数指的是可以用解析式子表示的函数，这种概念对数学和科学的进一步发展来说是太局限了。数学家在研究变上限的定积分时遇到了无法用解析公式表示的函数，这样，函数概念扩充到了用连续曲线表示的函数，数学家们称之为“几何的函数”。

一般化

用符号“$\phi x$ ”表示一般函数的是瑞士数学家约翰$\cdot$伯努利一世(1667-1748)，他在1718年使用了这一表示，他定义一个度量的函数是由度量与常数依一定方式构成的数。1734年欧拉(1707-1783)采纳这一定义用 $f(x)$ 作为函数的记号。$f(x)$ 中的$f$ 是funtion的第一个字母。这种用法一直保持到今天。这是函数概念从解析表达式走向抽象表示的第一步。

这样，函数概念的抽象化进程就开始了。1769年，达朗贝尔(1717-1783)第一次导出了函数方程

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ 。

柯西(1789-1857)在1821年导入了更多的函数方程：

$f(x+y)=f(x)f(y)$ ，

$f(xy)=f(x)+f(y)$ ,

$f(xy)=f(x)f(y)$ 。

一系列重要的函数方程由阿贝尔(1802-1829)在1826-1827年解决。

傅里叶(1768-1830)引出的新理解

17世纪，由于微积分的发展，伴随着有许多初等函数的研究。18世纪上半叶的数学家相邻，一个函数处处有相同中的表达式。到18世纪后半叶，很大程度上由于对弦振动研究的结果，欧拉和拉格朗日(1736-1813)允许一个函数在不同区间上有不同的表达式。但是，当时的数学家认为，在同一区间[a,b]上处处有相同函数值的两个函数一定是完全相同的函数，即若对 $\forall x \in [a,b]$ ，都有 $f(x)=\varphi (x)$ ，则$f(x) \equiv \varphi (x)$ 。这种理解对吗？

傅里叶在1822年发表了数学的经典文献之一——《热的解析理论》。在这篇论文中他用三角级数和的形式表示间断函数。

例如，函数 $y= \dfrac{sin x}{1}$ $+ \dfrac{sin 3x}{3}$ $+\dfrac{sin 5x}{5}$ $+ \cdots$ ，收敛到

$y = \begin{cases} \dfrac{\pi}{4} & 2n \pi<x<(2n+1) \pi \\ 0 & x=n \pi \\ -\dfrac{\pi}{4} & (2n-1) \pi<x<2n \pi \end{cases}$

现在比较如下二式：

$\varphi (x)=\dfrac{\pi}{4}$ ，

$f(x)= \dfrac{sin x}{1}$ $+ \dfrac{sin 3x}{3}$ $+\dfrac{sin 5x}{5}$ $+ \cdots$ 。

在区间 $0<x<\pi$ 内所有的x的值，$\varphi (x)$ 与$f(x)$ 的值都是相等的，但不能说$\varphi (x)=f(x)$ 。

傅里叶的研究动摇了旧的关于函数概念的思想，在当时的数学界引起了很大的震动。甚至像拉格朗日这样的大数学家也不相信。

19世纪随着偏微分方程的发展，出现了许多特殊函数，这就要求应该有一般的函数概念。

狄利克雷(1805-1859)的贡献

从微积分诞生到19世纪初，整个分析的基础就是连续函数和函数导数的概念。但是，什么是连续函数呢？当时的数学家并没有明确的概念，而是借助于几何直观。直观上，连续函数可用一条连续画出来的连续曲线来表示。1806年，数学家安培(1775-1836)”证明“了，任何连续函数在所有的连续点上都是可导的。类似的证明在19世纪关于微积分的主要著作中都可以找到。然而，所有这些证明都是错误的。他们犯这样的错误是情有可原的，因为在近200年的时间内，函数的精确概念还没有。

历史上第一个给出函数一般定义的是狄利克雷。这是微积分严格性的开始。因为，

如果严格性没有进入定义，那就无法在推理中引入严格性。

按这个标准来衡量，柯西的《分析教程》只是微积分严格化的第一步。

当时数学家们处理的大部分对象没有完全的定义，他们借助于直觉和想象来描述它们。他们还没有推理赖以成立的精确定义。

狄利克雷函数。狄利克雷还在1829年给出了下面的著名函数：

$f(x) = \begin{cases} 0 &\text{x是无理数, } \\ 1 &\text{x是有理数. } \end{cases}$

这个函数具有四个特点：

1) 没有公式，函数概念从解析式子中解放了出来；

2) 没有图形，函数概念从几何直观中解放了出来；

3) 不连续，历史上第一个间断函数，开了研究不连续函数先河；

4) 没有实际背景：函数从客观世界这一束缚中解放了出来。

这表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，”人造“的特征开始展现出来。这种思想局限性标志着

数学从研究”算“到研究”概念、性质、结构“的转变的开始。

未完待续.