反比例函数与双曲线

反比例函数与双曲线

反比例函数(inverse proportional function)是形如 $y=\dfrac{k}{x}$ 的函数，其中x是自变量，y是函数，k是常数且不等于0. 

反比例函数中， k也称为反比例常数，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式，其形式也可以写为$xy=k$ 或$y=kx^{-1}$ ( $k \ne 0$ ) .

成反比例关系的不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.

一次函数 $y=kx+b$ 的图象是一条直线，二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是一条抛物线，反比例函数的图象由两条曲线共同组成，称为双曲线，双曲线的两个分支关于原点对称，如下图。

形如 $y=kx$ 的一次函数也称为正比例函数，其自变量x的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量x的取值范围为不等于0的全体实数.

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一三象限（或二、四象限）.

由于双曲线的图象不是连续的，因此所谈到到的反比例函数的增减性，都是在各自象限内的增减情况. 当K>0时，在每一个象限（第一、三象限）内，y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时y随x的增大而减小；同样，当k<0时也不能笼统地说y随x的增大而增大.

随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中 $x \ne 0$ 且 $y \ne 0$ .

反比例函数中比例系数k的几何意义是，过双曲线上任意一点做与两条坐标轴垂直的线段，它们与坐标轴围棋的矩形面积恒定为| k |. 如图，在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上任取一点P，过P做x轴的垂线并与x轴交于M，过P做y轴的垂线并与y轴交于N，O为坐标原点，则矩形ONPM的面积始终为| K |.

所以，无论P在何处，$\triangle OPM$ 或 $\triangle OPN$ 的面积恒为 $\dfrac{|k|}{2}$ .