证明π是无理数——高中生也能看懂的方法

证明$\pi$ 是无理数

数学长征根据Mathologer视频整理

前言

我们都知道圆周率π是无理数，但极少有人知道怎么证明它。事实上，很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因，一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由Ivan Niven给出的据称是最短的证明，需要大学数学知识才能看懂。

本文给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在1761年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了tan x的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。

约翰·海因里希·兰伯特

准备工作

1）无理数和反证法

无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。

例如，如何证明lg3是无理数？可以先设lg3是有理数，于是有：

$\lg 3= \dfrac{v}{n}$

即

$10^{\dfrac{v}{n}}=3$

两边同取n次幂得到

$10^v=3^n$

这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此lg3是有理数的假设不成立。附一中有几个练习，请试试。

2）连分数

连分数也叫繁分数，是形如下图的分数：

其中a₀、a₁、a₂……，b₀、b₁、b₂……为实数或复数。连分数常用来逼近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。

连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

实际上，上图中的无限连分数等于$\sqrt{3}$ ，其分母是121212……无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数e是无理数，并且得到了e的无限连分数形式：

从第二个2开始，其分母是211、411、611、811、1011……。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事，熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将 $\tan x$ 写成连分数形式。

3）麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在$x=0$ 点的特殊形式。若$f(x)$ 在$x=0$ 处$n$ 阶连续可导，则下式成立：

其中$f^{(n)}$ 表示$n$ 阶导数且 $0< \theta <1$ 。

因为$y=\sin x$ 在$x=0$ 处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在$x=0$ 处展开$\sin x$ ，得到：

同样展开$\cos x$ 得到：

证明

0）总体思路

第一步，兰伯特得到了$\tan x$ 的连分数表示：

第二步，兰伯特证明了，当$x$ 是除0之外的有理数时，$\tan x$ 是无理数。所以$\tan(\dfrac{1}{2})$ 、$\tan (\dfrac{3}{4})$ 等都是无理数。反之，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性，如果$\tan x$ 是有理数，则$x$ 一定是无理数。

第三步，因为 $\tan (\dfrac{\pi}{4})=1$ ，1不是无理数，所以$\dfrac{\pi}{4}$ 不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明$\pi$ 是无理数。

1）第一步，得到$\tan x$ 的连分数表示

将$\sin x$ 和$\cos x$ 的展开式代入 $tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ ，得到：

从红色分数线分子上提出一个$x$ ，

由于有

$x \dfrac{a}{b} = x \div \dfrac{b}{a} = \dfrac{x}{\dfrac{b}{a}}$

所以上上式可化为

对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母，得到

调整下顺序

去括号

计算红框内的对应项，得到

式中，蓝底色的两部分相同，根据$\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}$ ，可化为

对红分数线上的分子统一提出-x²，得到

再次使用倒数技巧得到

再反复使用分子加减分母法，这次因为分母是$\dfrac{1}{3}$ ，为消去红分数线上的常数1，给分子加3倍的分母再减去3倍的分母得到

整理得到

如此反复计算下去，最终得到$\tan x$ 的连分数表示：

可以通过对比$\tan x$ 和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形（蓝色）与$\tan x$ 的图形（棕色）对比，两个图形在0点重合。

取连分数的第二层时，图形更加接近，如下图

取越多的部分作图，就越逼近$\tan x$ 的图形，证明这个连分数是正确的。

2）第二步，证明$x$ 为有理数时$\tan x$ 是无理数

设x是有理数，则$x$ 可以写为$\dfrac{u}{v}$ ，其中$u$ 和$v$ 均为正整数，代入得到

化简右边连分数，给分子分母同乘$v$ ，得到

这个无限连分数，除了第一个分子是$u$ ，其它的分子都是$u^2$ 。分母则越来越大，也就是说，从某一处向后，分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。

根据$u$ 和$v$ 的不同，可能是$55v$ 或$555v$ 才比$u^2$ 大，这里不防设$5v$ 比$u^2$ 大2，那么从这一点向后，所有的分母都比分子至少大2。由$5v-u^{2} >2$ ，得到

$0<\dfrac{u^2}{5v}<1$

那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的

同样，如下图，从7v开始，之后的所有部分也是大于0小于1的。

如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数。现在来证明从$5v$ 开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于$\dfrac{B}{A}$ ，有 $\dfrac{B}{A}<1$ ，即$A>B$ 。

所以得到：

$A>B>0$

再考虑7v向后的部分，整理上面的式子得到下式:

由于$A$ 、$B$ 、$v$ 、$u$ 都是整数，所以$B5v-Au^2$也是一个整数，令其等于$C$ 。因为$7v$ 向后的部分也是大于0小于1的，所以又得到：

$B>C>0$

所以现在有：

$A>B>C>0$

再考虑$9v$ 向后的部分又得到：

$A>B>C>D>0$

因为这是一个无限连分数，所以反复这样做可以得到一个无限递减数列：

$A>B>C>D>$ $E>F> \cdots > 0$

由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的，无论A有多大，始终都会在有限次递减后小于0，所以不存在这样的一个递减数列。

于是，之前从$5v$ 开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到

$\tan (\dfrac{u}{v})=$ 无理数

3）第三步，$\pi$ 是无理数

因为$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1$ ，而1不是无理数，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果 $\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{u}{v}$ ，那么应该得到一个无理数而不是1），得到$\dfrac{\pi}{4}$ 不是有理数，所以$\pi$ 不是有理数。

得证。

4）一张图总结

附一，练习

以下几个问题由简至难，你会做哪一个？

1）简单不等式

文中提及

$\because 5v-u^{2} >2$

$\therefore \dfrac{u^2}{5v}<1$

为什么？为什么我只能推导出下面的不等式？

$\dfrac{u^2}{5v-2}<1$

2）$\lg 2$ 是无理数吗？怎么证明？

3）$\log_{7} {\dfrac{8}{9}}$ 是无理数吗？怎么证明？

4）怎么推导出根号3等于下图中的连分数？

5）文中推导$\tan x$ 的连分数时，给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母，都是很大的无穷级数，它们应该不支持交换律和结合律，但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作？

附二，最短证明