不要滥用反证法

不要滥用反证法

单墫

反证法是一种很有力的方法. 要证“A->B”，原来只有一个条件A，采用反证法，假设B不成立，就多出一个条件 $\overline{B}$ (非B)，而由条件A、$\overline{B}$ 要导出的结论只是“矛盾”. 所以反证法常常能解决一些直接证明难以奏效的证明题.

但反证法也不宜滥用. 很多能直接证明的问题，不必用反证反，尤其在表述时，正面说比正话反说总要清楚明白一些.

请看下面一例.

求证：

如果n是大于4的偶数，那么 $2^n-1$ 是至少3个大于1的正整数的乘积.

证明：

我们知道

$2^2-1=3$

$2^4-1=3 \cdot 5$

$2^{2k}-1=(2^k-1) \cdot (2^k+1)$

如果当 $n=2k>4$ 时，数 $2^{2k}-1$ 等于2个质数乘积，那么数 $2^k-1$ 与 $2^k+1$ 都为质数，这是不可能的. 因为当 $k$ 为奇数时，$3|2^k+1$ ；$k$ 为偶数时，$3|2^k-1$ ，而 $2^k-1>3.$ 所以，当 $n$ 为大于4的偶数时，$2^n-1$ 至少为3个大于1的自然数的乘积.

上面的证明采用了反证法，而实际上证明的前半段只需保留

”我们知道$2^{2k}-1=(2^k-1) \cdot (2^k+1)$ “

以下接”当$K$ 为奇数时……“，其中的反证法部分全应删去.

——单墫《解题研究》