250个数学难题：6
r = rω? 及 s = sω?
r = rω? and s = sω?
在 ZFC 下是否有 r = rω? 其中
r = min{|R| : R ⊆ [ω]ω, ∀x ⊆ ω, ∃y ∈ R(|y − x| < ω 或 |y ∩ x| < ω)},
rω = min{|R| : R ⊆ [ω]ω, ∀xn(xn ⊆ ω : n ∈ ω), ∃y ∈ R,∀n(|y − xn| < ω 或 |y ∩ xn| < ω)}.
不难证明 rω 是满足下列性质的集族的最小基数：R ⊆ [ω]ω 使得对每个有界实数序列 (xn)n∈ω, 存在 A ∈ R 使得 (xn)n∈A 为收敛子列. 若 (xn)n∈ω ∈ 2ω, 则上面最小基数为 r. 故此问题在实数收敛理论中有重要意义. 这个问题最早由 Vojtas 在文献 [3] 中提出. 文献 [1] 中证明了要得到 r < rω 的模型需要新的力迫技巧.
另外此问题的对偶问题 s = sω? 也是未解决的公开问题, 其中
s = min{|A| : A ⊆ [ω]ω, ∀x ∈ [ω]ω, ∃a ∈ A(|x − a| = |x ∩ a| = ω)},
sω = min{|A| : A ⊆ [ω]ω, ∀B ∈ [[ω]ω]ω, ∃a ∈ A, ∀b ∈ B(|b − a| = |b ∩ a| = ω)}.
这个问题最初由 Malyhin 提出, 参见文献 [4]、[5].
参 考 文 献
[1] Brendle J, Just W, Laflamme C. On the refinement and countable refinement number. Questions and Answers in General Topology, 2000, 18: 123-128
[2] Vaughan J. Small uncountable cardinals and topology // Van Mill J, Reed G M. Open problems in Topology. North-Holland, 1990, 196-218
[3] Vojtas P. More on set-theoretic characteristics of summability of regular (Toeplitz). Comment Math Univ Carolinae, 1998, 39: 269-279
[4] Kamburelis A, Weglorz B. Splitting. Archive for mathematical Logic, 1996, 35: 265-277
[5] Brendle J. Around Splitting and reaping. Comment Math Univ Carolinas, 1998, 39: 269-279
撰稿人：张树果
四川大学
