数学家志村五郎

只有本科学历的传奇数学家去世了

——他打开了通往费马大定理的大门

文：张华

转自：环球科学公众号

1964年的的志村五郎

1958年11月17日，星期四，清晨，日本东京的一间单身公寓里，刚刚订婚的谷山丰在他的那间8平方米的房间里自杀了。

那天早上，公寓的管理员发现谷山丰死在房间里。桌上放着一份纸条，那是他的遗书：

“到昨天我还没确定要自杀。但一些朋友可能注意到我近来身心疲惫。此间缘由我也不明白。但这绝对不是因为某件特定的事和物。也许我只是对未来没有信心……我真心希望这件事不会给人的将来造成阴影。不管怎样说，我无法否认我抛弃了你们，但请原谅我按我自己的意愿去做……”

而在谷山丰自杀后不久，他的未婚妻也选择结束了自己的生命。

谷山丰（左三）与同事进行讨论

这已经成为数学史上一个亘古难解的谜——谷山丰为什么要自杀？这就好像历史上那个叫马约拉纳的意大利物理学家神秘失踪，也埋藏了太多的秘密。

对于谷山丰了解颇多的人，是志村五郎。志村五郎生前曾写过一篇文章回忆谷山丰，叫《谷山丰的一生》。

2019年5月3日，数学家志村五郎也去世了。志村五郎的离世，虽然没有像2018年阿蒂亚去世那样轰动整个学术圈，但他的人生，其实也是一个传奇。他与谷山丰一起，提出了“谷山-志村猜想”。这个猜想的重要意义在于，它是著名的费马大定理的突破口：最终，正是通过证明谷山-志村猜想，沉睡3个多世纪的费马大定理宣告破解。

这是一个漫长的人生故事，谷山和志村都只有本科学历，却在数学史上留下了浓墨重彩的一笔。

费马大定理

费马大定理在1994年被证明之前叫做“费马大猜想”，这个猜想的具体内容是这样的：

当整数n > 2时，关于x,y,z的不定方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ无非平凡的正整数解。

在这里所谓的非平凡就是x、y、z的乘积不等于0。

这个猜想是由17世纪的法国律师费马提出来的。费马是一位很有影响力的业余数学家，他在笔记本上写了一行字，说自己已经证明了这个猜想，但因为纸张太小写不下，所以他并没有写下证明过程。后世的数学家倾向于认为，费马其实并没有证明这个猜想。

到了1908年，德国数学家沃尔夫斯凯尔（Wolfskehl）宣布以10万马克作为奖金，奖给在他逝世后一百年内第一个证明费马大猜想的人。

1994年，英国数学家怀尔斯证明了“谷山-志村猜想”，从而最终证明了“费马大定理”。所以，两个本科学历的人提出的“谷山-志村猜想”看起来其实比费马大定理更基础，也更具有广泛性。

意想不到的联系

1954年，在战后的废墟上，谷山和志村相遇了，他们都从东京大学数学系本科毕业，分别在东京大学不同的院系担任助教与讲师。

那时，日本最优秀的数学家都去了美国，留下来的资深教授的知识比较陈旧，无法指导谷山和志村这样渴望冲到学术最前沿的年轻教师。

在这种情况下，年轻教师渴望学习最新的知识，只有靠自学，或者自己办讨论班。他们与一些志同道合的年轻人组织了一个数学讨论班，一起学习数学。因为当时日本和西方的隔离，这些年轻人在讨论班上时常讨论一些在欧美已经过时的课题。有一个特别冷僻的题目让谷山和志村非常着迷，那就是模形式（modular form）。

模形式，大致来说就是一个函数，当这个函数的自变量被一个变换矩阵作用后，这个函数会发生改变，但这个改变具有很简单的性质——新函数是旧函数乘上刚才那个变换矩阵的N次方。

谷山丰首先在模形式上做了一些研究工作，发现一些模形式与某些椭圆曲线之间存在一些朦朦胧胧的相似性，这两个来自不同数学领域的概念似乎存在同一套“数学基因”。1955年9月，国际数学大会在东京召开，时年28岁的谷山丰向大会提交了一份报告，他在报告中提出，模形式和椭圆曲线方程之间存在一种奇怪的联系。

所谓的椭圆曲线并不是椭圆，而是指那些满足形如y² = ax³ + bx + c（或其等价形式）的曲线。

对于某些特定的椭圆曲线，如果我们把它看成是一个方程，在有限域求解这个方程，得到的解的个数记为M；随后谷山丰研究了一个特定的模形式，将这个模形式的傅里叶展开系数记为N。谷山丰发现，M和N相加是一个素数。

在数学中，能将两个领域联系起来的工作都是很伟大的，比如高斯-波涅定理将微分几何与拓扑学联系在了一起。不过，由于谷山丰发现的联系很模糊，而且缺乏完整的数学证明，再加上他只有本科学历、并不是成名的数学家，所以在当时，这个想法并没有受到重视。

志村五郎与谷山丰合作，希望能找到更多的证据来证明这种联系是真实存在的。但到了1957年，志村五郎作为日本数学家代表参加了国际数学家大会并做了报告，随后应邀去美国普林斯顿高等研究院做访问学者一年，他与谷山丰的合作暂时中止。

就在志村五郎去日访美的这一年，留在日本的谷山丰自杀了。

谷山-志村猜想

谷山丰自杀以后，志村五郎再接再厉，找到了更多的论据，终于完整提出了“谷山-志村猜想”：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。

但是，志村五郎还是没有办法证明这个猜想是成立的。

所谓的模曲线，则是说这个曲线都可以用模函数参数化。这就好像我们可以用三角函数对圆周方程参数化那样。

比如，单位圆的方程是x² + y² = 1，我们可以用三角函数来参数化以上的圆：

x = cos(θ)

y = sin(θ)

那么，对于（有理数域上的）椭圆曲线y² = ax³ + bx + c，谷山丰与志村五郎猜想也可以找到类似的参数化方法。举一个例子就是，对于椭圆曲线y² + y = x³ - x²，其对应的模形式是：

但椭圆曲线有无穷多条，所以要完整证明这个猜想，需要极高的数学技巧，而不仅仅是找到一些特列。

终得证明

数学界的进展有时候是很缓慢的，到了1985年，德国数学家格哈德·弗雷（Gerhard Frey）指出了“谷山-志村猜想”和费马大定理之间的存在某种关系；1986年，美国数学家肯尼斯·里贝特（Kenneth Ribet）肯定了弗雷的说法，数学界开始形成一个重要的共识：只要证明“谷山-志村猜想”，那么费马大定理就会成为一个推论自动成立。

在这种情况下，数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）开始专攻“谷山-志村猜想”。在长达7年的时间里，怀尔斯“消失”了，没有发表任何一篇文章。到了1993年的6月21日，在英国剑桥大学牛顿数学研究所，怀尔斯正式宣布“谷山-志村猜想”是成立的，这也相当于证明了费马大定理。

安德鲁·怀尔斯

怀尔斯的报告震惊了整个数学界，但后来被检验出存在一些小瑕疵，怀尔斯与他的合作者又花了14个月的时间完善了证明。1994年9月19日，他们终于交出完整无瑕的解答，宣告费马大定理被证明。怀尔斯也成为历史上唯一一个年龄超过40岁而获得菲尔茨奖的数学家，因为证明费马大定理实在是太重要了，这个贡献是彪炳千古的。

而这个时候的谷山丰已经离开人世快50年了。志村五郎也已经是美国普林斯顿大学数学教授。虽然只有本科学历，但他已经成为博导，指导了很多博士生。偶尔他还能想起多年前的那一幕，那是昭和时代东京的一间8平方米房间，谷山丰在里面做着数学计算，窗外是烂漫的樱花，远处是白雪皑皑的富士山……他们是满怀数学理想的年轻人，自己教育自己，准备一起前进……