裂项相消法4——指数型

裂项相消法4——指数型

裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之差的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同，可以分为多种类型，本期讲指数型.

裂项相消法——指数型.

指数型主要依据以下变换进行裂项：

$\dfrac{a^{n+1} -a^n}{(a^n+b)(a^{n+1} +b )}$ $=\dfrac{1}{a^n+b} -\dfrac{1}{a^{n+1} +b}$

$\dfrac{a^{n+1} -a^n}{(a^n-b)(a^{n+1} -b )}$ $=\dfrac{1}{a^n-b} -\dfrac{1}{a^{n+1} -b}$

记忆方法：

分母小的在前，分母大的在后.

【例1】

数列 {$a_n$} 的通项为 $a_n=$ $\dfrac{3^n}{(3^n-2)(3^{n+1}-2 )}$ ，求数列 {$a_n$} 的前 $n$ 项和 $S_n$ .

【分析】

分子与指数型裂项公式有点不同，先不考虑分子，以裂项后的结果倒推出分子应该是什么样：

对 $\dfrac{1}{3^n-2} -\dfrac{1}{3^{n+1} -2}$ 通分，得到

$\dfrac{3^{n+1} -3^n}{(3^n-2)(3^{n+1} -2 )}$

$=\dfrac{2 \cdot 3^2}{(3^n-2)(3^{n+1} -2 )}$

所以可将 {$a_n$} 的通项改为

 $a_n=$$\dfrac{1}{2} \Big ( \dfrac{3^n \cdot 2}{(3^n-2)(3^{n+1}-2 )} \Big )$

后使用公式.

【解】

$\because$

 $a_n=$ $\dfrac{1}{2} \Big ( \dfrac{3^n \cdot 2}{(3^n-2)(3^{n+1}-2 )} \Big )$

$=\dfrac{1}{2}$ $\Big ( \dfrac{1}{3^n-2} -\dfrac{1}{3^{n+1} -2} \Big )$

$\therefore$

$S_n=$$\dfrac{1}{2} \Big ($ $\dfrac{1}{3^1-2} - \dfrac{1}{3^2-2}$ $+\dfrac{1}{3^2-2} -\dfrac{1}{3^3 -2}$  $+\cdots +$ $\dfrac{1}{3^n-2} -\dfrac{1}{3^{n+1} -2}$$\Big )$

$= \dfrac{1}{2} \Big ($ $1-\dfrac{1}{3^{n+1} -2}$ $\Big )$

【例2】

数列 { $a_n$} 的通项为 $a_n= \dfrac{2^{n-1}}{(2^n+1)(2^n+2 )}$ ，求数列 { $a_n$ } 的前 $n$ 项和 $S_n$ .

【分析】

与公式又有不同，但分母第二项有公因数$2$ .

【解】

略.