余数定理和因式定理

余数定理和因式定理

余数定理和因式定理是研究多项式除法的常用工具.

代数式的记号

关于 $x$ 的代数式常用记号 $f(x)$ 或 $g(x)$ 等表示，例如，用 $f(x)$ 表示代数式 $2x^2+x-3$ ，可记为

$f(x)=2x^2+x-3$

这时，$f(1)$ 就表示 $x=1$ 时，代数式 $2x^2+x-3$ 的值，即

$f(1)=2 \times 1^2 +1-3$$=0$

同样地，有

$f(0)=2 \times 0^2 +0-3$$=-3$

$f(-1)=2 \times (-1)^2 +(-1)-3$=$-2$

等等.

$f(x)$ 可以代表 $x$ 的任意一个代数式. 但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的记号表示，如$f(x)$、$g(x)$ 、$q(x)$ 、$r(x)$ 等.

代数式除法

采用上述记号，在除法中，有

$f(x)=g(x) \cdot q(x) +r(x)$ $(1)$

其中 $f(x)$ 表示被除式，$g(x)$ 表示除式，$q(x)$ 表示商式，$r(x)$ 表示余式，余式 $r(x)$ 的次数小于除式 $g(x)$ 的次数.

如果$g(x)$ 是一次式 $x-a$ ，则 $r(x)$ 的次数小于1，因此 $r(x)$ 只能为常数(0或非零常数). 这时，余式也叫余数，记为 $r$ ，即有

$f(x)=(x-a) \cdot q(x) +r$ $(2)$

在(2)中令 $x=a$ 得

$f(a)=r$

余数定理

因上，有以下重要定理：

余数定理 多项式 $f(x)$ 除以 $(x-a)$ 所得的余数等于 $f(a)$ .

如 $f(x)=3x^2 +5x-7$ 除以 $x+2$ 的余数为

$f(-2)$$=3 \times (-2)^2$ $+ 5 \times (-2)$$-7$ $=-5$

因式定理

又由(2)式，如果 $f(x)$ 能被 $x-a$ 整除，那么必有 $r=0$ . 反之，如果 $r=0$ ，那么$f(x)$ 能被 $x-a$ 整除. 因此，我们有

因式定理 如果多项式 $f(x)$ 能被 $x-a$ 整除，亦即 $f(x)$ 有一个因式 $x-a$ ，那么 $f(a)=0$ . 反之，如果 $f(a)$ $=0$ ，那么 $x-a$ 必为多项式 $f(x)$ 的一个因式.

应用

在本App中有几道相关的题目.

第435题：计算多项式 $3x^2+5x-9$ 除以 $x+2$，所得的余数.

第436题：计算多项式 $3x^3 + 5x^2 -2x^4 -7$ 除以 $x-2$ ，所得的余数.

第562题：多项式$f(x)$ 除以 $x-1$ 、$x-2$ ，所得的余数分别为5和8. $f(x)$ 除以$(x-1)(x-2)$ 所得的余式为$ax+b$，求$a$、$b$ 分别为多少.