裂项相消法1——等差型

裂项相消法1——等差型

裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之差的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同，可以分为多种类型，本节讲等差型.

如果是相邻两个自然数的乘积，有：

$\dfrac{1}{n(n+1)}$$=\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}$

更一般地，有：

$\dfrac{1}{n(n+k)}$ $=\dfrac{1}{k} \Big ( \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+k} \Big )$

【例1】计算

$\dfrac{1}{1 \times 2}$ $+ \dfrac{1}{2 \times 3}$ $+ \dfrac{1}{3 \times 4}$ $+ \cdots$ $+ \dfrac{1}{99 \times 100}$

解，原式

$=$ $\Big ( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \Big )$ $+ \Big ( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} \Big )$ $+ \Big ( \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} \Big )$  $+ \cdots$ $+ \Big ( \dfrac{1}{99} -\dfrac{1}{100} \Big )$

$= 1 -\dfrac{1}{100}$

$= \dfrac{99}{100}$

【例2】计算

$\dfrac{1}{3 \times 6}$ $+ \dfrac{1}{6 \times 9}$ $+ \dfrac{1}{9 \times 12}$ $+ \cdots$ $+ \dfrac{1}{96 \times 99}$

解，原式

$= \dfrac{1}{3}$ $\Big ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} \Big )$ $+ \dfrac{1}{3} \Big ( \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{9} \Big )$ $+ \dfrac{1}{3} \Big ( \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{12} \Big )$$+ \cdots$ $+\dfrac{1}{3} \Big ( \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{99} \Big )$

$=\dfrac{1}{3} \Big ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{99} \Big )$

$=\dfrac{1}{3} \Big ( \dfrac{32}{99} \Big )$

$=\dfrac{32}{297}$

推广，可得到

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$

$=\dfrac{1}{2(n+1)}$$\Big ( \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+2} \Big )$

$=\dfrac{1}{2}$ $\Big ( \dfrac{1}{n(n+1)} -\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \Big )$

【练习】计算

$\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}$ $+ \dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}$  $+\dfrac{1}{3 \times 4 \times 5}$ $+\cdots$ $+\dfrac{1}{98 \times 99 \times 100}$ .