有趣的皮克定理

皮克定理

皮克定理用于求格点多边形的面积。在信息时代，图像和信息均以数位或点阵方式给出，其特点为是均匀分布，不连续。这与连续情形下的传统欧式几何有明显的不同，也为分析带来了障碍。皮克定理在传统欧式几何与近代数位几何之间建立了联系。

格点多边形

如下图，每个小正方形的边长是1，图中小正方形的顶点称为“格点”，如果一个多边形的每个顶点都在格点上，则称该多边形为“格点多边形”，下图是一个格点四边形。

格点多边形面积计算

小学数学课上，用加减法来计算格点多边形的面积，下图是常用方法。

如果多边形过于复杂，比如下图，用加减法计算就有些复杂了，有没有简单的方法呢？

皮克定理

1899年，奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克给出了格点多边形的计算公式：

$S_{\tau}=i+\dfrac{j}{2}-1$

其中的$i$ 是多边形内的点数，$j$ 是多边形边界上的点数。

如上图中的多边形$\tau$ 的面积，用皮克定理计算为：

$S_{\tau}=16+\dfrac{12}{2}-1=21$

皮克定理不适用的类型

1、非格点多边形，即多边形某个顶点不在格点上，如下图

2、有“洞”的图形，即图形内部被挖去了一部分的，如下图，这个面积用两次皮克定理才可求出。