平面束的定义及应用

设直线 $L$ 由两个不同面组成的方程组

$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \end{cases}$

所确定，可以建立三元一次方程组

$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0)=0$

或

$\alpha( A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0)=0$ ，

这两个方程表示通过直线 $L$ 的全体平面，称为通过直线 $L$ 的平面束的方程。

有时用平面束的方程解题比较方便，例如：

求过直线

$\begin{cases} x+y-z=1, \\ 2x-y+z=0. \end{cases}$

且经过点 $P(1,2,-1)$ 的平面方程，可以先写出过此直线的平面束的方程再代入点坐标求解。