那些年，我们一起背过的公式(一)

三角函数

曾经，我们背过无数的公式，推导过其来源也设计过记忆技巧，曾经用的顺手也曾经被它们折磨，无论当时多么的爱恨交加，在多年以后，都蒙上了时间的灰尘，不仅忘了这些公式，甚至也忘了当时的故事。今天来回忆一下三角函数公式，如果你有和它们相关的故事，也欢迎投稿或留言。

三角函数是一个极其强大且重要的东西，在代数和几何中都占据着非常重要的地位，有着非常丰富的应用。

1、和角公式、差角公式

cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sinβ

cos(α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ

sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ

sin(α-β)=sinα cosβ - cosα sinβ

2、和差化积公式

sinα +sinβ=2 sin$\dfrac{α+β}{2}$ cos $\dfrac{α-β}{2}$

sinα -sinβ=2 cos$\dfrac{α+β}{2}$ sin$\dfrac{α-β}{2}$

cosα +cosβ=2 cos$\dfrac{α+β}{2}$ cos$\dfrac{α-β}{2}$

cosα -cosβ=-2 sin$\dfrac{α+β}{2}$ sin$\dfrac{α-β}{2}$

tanα $\pm$ tanβ=$\dfrac{\sin (α \pm β)}{\cos α \cos β}$

3、积化和差公式

sinα cosβ=$\dfrac{\sin (α+β)+\sin (α-β)}{2}$

cosα sinβ =$\dfrac{\sin (α+β)-\sin (α-β)}{2}$

cosα cosβ =$\dfrac{\cos (α+β)+\cos (α-β)}{2}$

sinα sinβ =$\dfrac{\cos (α-β)-\cos (α+β)}{2}$

4、倍角公式

sin2α = 2sinα cosα

cos2α=$\cos ^2 α -\sin ^2 α$ =$2\cos ^2 α -1$ =$1-2 \sin ^2 α$

$\cos ^2 α =\dfrac{1+\cos 2α}{2}$

$\sin ^2 α =\dfrac{1-\cos 2α}{2}$

sin3α=3sinα - 4$\sin ^3 α$

cos3α=4$\cos ^3 α$ - 3cos α

5、辅助角公式

$m \sinθ \pm n \cos θ$ =$\sqrt{m^2+n^2} \sin (θ \pm φ )$

其中 $m,n$ 为正数，锐角$φ$ 满足

sinφ =$\dfrac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}$

cosφ =$\dfrac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}$

在求三角函数的最值时可以使用这个公式先化成一个单独的三角函数，再求最值.

常见的有

sinθ + cosθ =$\sqrt{2} sin (θ +\dfrac{\pi}{4})$

sinθ +$\sqrt{3}$ cos θ =$2 \sin (θ +\dfrac{\pi}{3})$

6、万能公式

sinθ=$\dfrac{2t}{1+t^2}$

cosθ=$\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

tanθ=$\dfrac{2t}{1-t^2}$

其中 

t=$tan \dfrac{θ}{2}$

7、三个基本公式

$\sin^2 θ +\cos^2 θ$ $=1$

$1 + \tan^2 θ$ $=\dfrac{1}{\cos^2 θ }$ $=\sec^2 θ$

$1 + \cot^2 θ$ $=\dfrac{1}{\sin^2 θ }$ $=\csc^2 θ$  

后两个公式分别由第一个公式两边同时除以$\cos^2 θ$ 、$\sin^2 θ$ 得到, 主要用到化简中.  

8、三角形中常用公式

设 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边，$\angle A,\angle B, \angle C$ 为三边所对的角，$R$ 为外接圆半径，有以下定理。

正弦定理：

$a=2R \sin A$

$b=2R \sin B$

$c=2R \sin C$

余弦定理：

$a^2+b^2$ $-2ab \cos C=c^2$

$b^2+c^2$$-2bc \cos A =a^2$

$c^2+a^2$$-2ca \cos B=b^2$

射影定理:

$a=b \cos C+c \cos B$

$b=c \cos A+a \cos C$

$c=a \cos B+ b\cos A$

由$\sin A=\sin (180-(B+C))$$=\sin B \cos C$ $+\sin C \cos B$

通过正弦定理，将角化为边即得射影定理.

其它三角形内恒等式：

$\sin A +\sin B + \sin C =$ $4 \sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}$  

$\tan A +\tan B + \tan C =$ $\tan A \tan B \tan C$

$\sin^2 A +\sin^2 B +\sin^2 C=$ $2\cos A \cos B \cos C$

$\sin^3 A +\sin^3 B +\sin^3 C =$ $\cos \dfrac{3A}{2} \cos \dfrac{3B}{2} \cos \dfrac{3C}{2}$ $+ 3\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{C}{2}$