一个不等式小定理

小定理

谁知道这个定理叫啥名字？内容是这样的，如果 $a>1$ ，则有：

$\dfrac{1}{a-1}$ $+ \dfrac{1}{a}$ $+\dfrac{1}{a+1}$ $> \dfrac{3}{a}$

用文字描述一下就是：三个连续正整数的倒数和大于居中数分之三.

证明过程

设 $a>1$

由 $2a^3 >2a^3 -2a$ $=2a(a^2 -1)$

两边同除以 $a^2 (a^2 -1)$ ，化简得到

$\dfrac{2a}{a^2-1}>\dfrac{2}{a}$

原式

$\dfrac{1}{a-1}$$+ \dfrac{1}{a}$$+\dfrac{1}{a+1}$

$= \dfrac{1}{a}$ $+(\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{a+1})$

$=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2a}{a^2-1}$

$>\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a}$

$=\dfrac{3}{a}$

证毕.