伽罗瓦与群论

从1521至1537题由图象的对称性引出对称群、对称多项式，直到群的概念和群的计算，从而得到一个精确的、具有普遍适用性的数学概念，这是一个在错综复杂的现象中寻求共同结构的过程，也是一个对事物认识不断深化的过程，在数学的研究中，这个过程具有代表性。

“群”这一概念是由法国数学家伽罗瓦（Galois）在1831年首次提出的. 

下面简述群论的产生过程及其应用.

当时的代数学仍是一门以方程论为中心课题的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程（所谓方程有根式解，即代数可解，就是这个方程的解能够由该方程的系数经过有限次加减乘除以及整数次方运算表示）.

从代数方程的概式解法的发展过程来看，早在3700年前，古巴比伦人就能够用根式求解一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 了. 而直到500年前，16世纪初的文艺复兴时间 ，三次方程$x^3+ax^2+$ $bx+c=0$ 和四次方程 $x^4+ax^3+$ $bx^2+cx+d=0$ 的求根公式才由意大利数学家给出. 到16世纪中叶，用根式求解四次或四次以下方程的问题获得了圆满解决.

面对这样漂亮的结果，数学界迎来了下一个挑战：探寻五次和五次以上方程的根式解. 但是经过以后近300年的努力，一直没有得到结果. 

在这期间，在1770年前后，法国数学家拉格朗日（Lagrange）利用统一的方法（现在称为拉格朗日预解式方法）详细分析了二、三、四次方程根式解法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进步. 但他的这种方法却不能对一般五次方程求解.

在1824—1826年间，年轻的挪威数学家阿贝尔（Abel）严格证明了：对于方程 $x^n+a_1x^{n-1}$ $+\cdots+a_n=0$ ，如果其次数 $n \geqslant 5$ ，并且系数$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根. 这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔解决了. 他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中一类现在被称为“阿贝尔方程”.

阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的，但并不妨碍人们去求一些特殊代数方程的解，比如阿贝尔方程的根式解. 在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式求解？

这个问题稍后被同样年轻的数学家伽罗瓦解决了. 对方程的根式可能问题的研究直接导致了群论的建立.

埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811年-1832年）

伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了他们的数学思想，并且凭着对数学特性的一种直觉，超越了他们. 他首先提出了根的置换概念，注意到每个方程都可以与一个置换群（伽罗瓦群）联系起来，方程实际上是一个其对称性可用群的性质描述的系统. 这样伽罗瓦就把方程的根式解问题转化为群论问题来解决. 而后他最终以群论为工具，为方程的根式解问题提供了全面而透彻的解答.

人们为了纪念他，把用群论的方法研究方程根式解的理论称为伽罗瓦理论. 

虽然伽罗瓦理论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一，但对19世纪初的人来说太深奥了，就连当时的数学大师（高斯、雅可比、柯西）都不能理解伽罗瓦的数学思想和他工作的实质，以至于他的论文得不到发表，直到1846年才由数学家刘维尔整理发表，但依旧在以后的几十年中一直被人们看成是一部“天书”. 

群论提出的83年后，德国物理学家劳厄（Max von Laue）因发现了x射线的衍射现象并用晶体对称群理论证明了晶体的点阵结构而获得1914年诺贝尔物理学奖.

群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，在错综复杂的现象中寻求共同的结构，把偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式. 群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响. 群是一个高度抽象的概念，群论对于数学的其他分支，如数学分析、几何学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大影响.

如今，群论在密码学、量子力学甚至机器学习中都有广泛的应用. 正像人们评价的：“无论在什么地方，只要能应用群论，就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐。”

伽罗瓦正好赶上了法国历史上最乱的那段时期（法国大革命到波旁王朝复辟再到七月革命），伽罗瓦19岁时做为一名共和党人投身革命，20岁时被捕入狱，1832年出狱后在一场决斗中早逝，时年21岁.