费曼秘诀

费曼秘诀

z张z

注：著名物理学家理查德•费曼（Richard Feynman）有一个『积分内取微分』的技巧，可以处理不少复杂积分或级数问题，本文为数学长征朋友「z张z」整理的心得，适合大一大二的学生阅读。

费曼(1918-1988)

很多数学优异的学生，在高等数学了解的差不多时，经常会自行向更高更远探索，追求简洁、高效、实用的方法。这时《数学分析》会满足他们，《数学分析》已经很完美了，它又被叫做《高等微积分》。在很多《数学分析》中，会介绍含参变量积分这个方法，粗略的说，如果推导过程用到的东西全部满足一致性收敛那么有

如果

$I=\int_{a}^{b} f(x, t) d x$

则

$\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{dt}}=\int_{\mathrm{a}}^{b} \frac{\partial}{\partial t} f(x, t)$

证明过程也十分简单，它大概长这样:

$I(t+\Delta t)-I(t)$

$=\int_{a}^{b} f(x, t+\Delta t)$ $-\int_{a}^{b} f(x, t)$

同除 $\Delta t$ ，

$\frac{I(t+\Delta t)-I(t)}{\Delta t}$ $=\frac{\int_{a}^{b} f(x, t+\Delta t)-f(x, t) d x}{\Delta t}$

取极限，

$\lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{I(t+\Delta t)-I(t)}{\Delta t}$ $=\lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \int_{a}^{b} \frac{f(x, t+\Delta t)-f(x, t)}{\Delta t} d x$

即

$\frac{d I}{d t}=\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial t} f(x, t) d x$

当然，你的书上绝不会写的这样简单，但是这个方法的目的是什么？对一个函数积分变成了→求导→积分→再积分 计算答案，而理解它特别容易，只是因为求导比积分简单的多！

实际上，有严格的莱布尼茨法则，当积分的上限和下限为参数 $t$ 的可微函数 $\mathrm{a}(\mathrm{t})$ 和 $\mathrm{b}(\mathrm{t})$ ，并且当 $\mathrm{b}<\mathrm{t}<\mathrm{B}$ 时 $\mathrm{a} \leq \mathrm{a}(\mathrm{t}) \leq A, a \leq b(t) \leq A$ ,有

$\frac{\mathrm{d}}{d t} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t) d x$

$=f[b(t), t] b^{\prime}(t)$ $-f[a(t), t] a^{\prime}(t)$ $+\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial}{\partial t} f(x, t) d x$ ,

当 $a$ ,$b$ 都是常数时，就变成了上面我提到的简单的形式。

这个证明过程我就省略了，这里介绍这个结论是因为我们即将对它进行一次扩展，认识费曼是怎么利用这个结论来解题的。

在《别闹了，费曼先生》一书里，他三次提到自己学来的〖积分符号内的参数求微分〗方法，可见他对这种方法情有独钟，也可能是因为他不喜欢围道积分。

然而，我没有看过这本书，我是在电视中认识学来的。

以它为例子

$I=\int x^{2} e^{-x} d x$

让我们来看看这个积分，实际上用分部积分并不难做，但是如果让我们用费曼秘诀时该怎样做，话不多说，直接给过程.

构造函数

$f(x, t)=\int e^{-t x} d x$

则

$\frac{\partial f}{\partial t}=\int \frac{\partial}{\partial t} e^{-t x} d x$ $=-\int x e^{-t x} d x$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=-\int \frac{\partial}{\partial t} x e^{-t x} d x$ $=\int x^{2} e^{-t x} d x$

注意这里的 $t \rightarrow 1$ 时就是我们要求的 $I$ ，

也就是说 $\left[\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}\right]_{t \rightarrow 1}=I$

综上

$I=\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \int e^{-t x} d x\right]_{t \rightarrow 1}$

$=\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \int e^{-t x} d x\right]_{t \rightarrow 1}$ $=\left[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\left(-\frac{1}{t} e^{-t x}\right)\right]_{t \rightarrow 1}$ ，

而求导是十分容易的。

这个例子告诉我们要多看网剧，哦不，是多学方法。这种方法通过把不含参变量积分转化成含参变量积分或者自行构造一个含参变量积分的思想，值得我们探索。

下面让我用一个例题详细的介绍这个思想。

$I=\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{\ln x} d x$ ，题是我编的，你是休想找到答案的！

费曼的秘诀，把它构造成二元函数

$I(t)=\int_{0}^{1} \frac{x^{2 t}-x^{t}}{\ln x} d x$ ，注意 $t \rightarrow 1$ 时就是我们要的答案。

求导

$\frac{d I}{d t}=\int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} \frac{x^{2 t}-x^{t}}{\ln x} d x$

$=\int_{0}^{1} 2 x^{2 t}-x^{t} d x=\frac{2}{2 t+1}-\frac{1}{t+1}$

积分

$\int d I=\int \frac{2}{2 t+1}-\frac{1}{t+1} d t$

$=\ln \frac{2 t+1}{t+1}+c$ ，这里出现了常数$c$ ，但是不要慌，代特征值 $I(0)=0=\ln 1+c$ ，$c=0$

综上

$I=\left[\ln \frac{2 t+1}{t+1}\right]_{t \rightarrow 1}=\ln \frac{3}{2}$

这个例题几乎包含了费曼秘诀的所有步骤。

通过这样的转换，尽管步骤变多了，但问题却变得简单，这是一个很好的构造含参变量积分方法。

通过构造探索，题目会变得更加清晰，这需要一次次不断的尝试，而构造方法是完全开放的，我们需要做的仅仅是大胆的尝试，如果你能够自如的运用它，相信你一定有所收获！

最后，让我们来回顾「月明中」曾经悬赏的一道题目：

$I=\int_{0}^{\infty} \frac{\arctan x \ln \left(1+x^{2}\right)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x$

让我们用费曼技巧重做一次

$I(a)=$ $\int_{0}^{\infty} \frac{\arctan a x \ln \left(1+x^{2}\right)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x$ ，

$a \rightarrow 1$ 就是我们要的答案

$\frac{d I}{d a}=$ $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+a^{2} x^{2}\right)} d x$

再设

$I^* (b)$ $=\int_{0}^{\infty} \frac{\ln \left(1+b x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+a^{2} x^{2}\right)} d x$

$\frac{dI^*}{db} =$ $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)(1+b x^2)}$

$=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)(1+b x^2)} dx$

这就到了与月明中答案相似的形式，可以用留数计算这个积分。

可能有人会认为用了费曼秘诀依旧很繁琐，这里仅仅是因为这道题本身就很狗血。

综上 

$I=\left[ \int \int I^* dadb \right]_{a \rightarrow 1,b \rightarrow 1}$

这里会出现常数$c$ ，与之前一样，带特征值就好啦。

参考文献：《别闹了，费曼先生》，费曼著，吴程远译.