威尔逊定理

威尔逊定理

这是一个在数学史上贻笑大方的名不符实的故事，是关于威尔逊定理的事。有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊（J. Wilson，1741-1793）冠名。

威尔逊定理：若p为素数，则p可整除(p-1)！+1；若p为合数，则p不能整除(p-1)！+1.

事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的；威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润（E. Waring）于1770年出版的一本书中却吹虚说是威尔逊发现的这一定理，而且宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数。这话传到高斯的耳朵里，当时高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，高斯在黑板前站着想了5分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理，高斯评批威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.”

两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理，看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了。

威尔逊定理的应用很广，例如对较大的素数p，我们虽然无力算出(p-1)!的值，但却知道(p-1)!被p除的余数是-1或p-1. 事实上，由于(p-1)!+1可被p整除，则存在自然数n，使得

(p-1)!+1=np，

(p-1)!=np-1=(n-1)p+(p-1),

所以(p-1)!被p除的余数是-1或p-1.

由于威尔逊定理戏剧性冠名以及它的内容的重要性，难怪有人戏称，“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.”