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进位制简介


进位制


进制


我们通常用的十进制,有两个特点:

(1)用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字(数码)表示;

(2)逢十进一.


除了十进制,还有其他的进位制. 例如南美的玛雅人采用二十进制;欧洲有过十二进制(1“打”表示12个);我们现在的计时还在使用六十进制(60秒等于1分钟,60分钟等于1小时);我国的旧称,是十六进制,1斤等于16两,所以“半斤八两”表示两个人实力相当,改用新称(十进制),就应当说“半斤五两”了.


二进制


二进制是十进制外最常用的进位制,是计算技术中广泛采用的一种数制.

二进制采用0、1两个数字(数码),逢二进一.

在十进制中,365中的3表示3×1023 \times 10^2 ,6表示6×1016 \times 10^1 . 同样,在二进制中,111中左起的第一个1表示1×221 \times 2^2 ,第二个1表示 1×21 \times 2 ,第三个1表示1.

为了避免混淆,gg 进制中的数常加一个括号,并在右下方加注一个gg ,例如二进制中的111,记为(111)2(111)_2 ,十进制的数仍然通常表示.


进制间转换


根据上面所说:

(1111)2(1111)_2 == 1×231 \times 2^3 +1×22+ 1 \times 2^2 +1×21+ 1 \times 2^1 +1+1 =15=15

这就是二进制转为十进制的方法.


类似地,可以考虑gg 进制. 在gg 进制中,有gg 个数字,分别表示0、1、\cdotsg1g-1 ,在gg 大于10时需要自己制造几个新的数字,因为只有0到9这10个数字不够用. gg 进制“逢 gg 进一”.


一般地,gg 进制中的数可以写成 (a0a1an)g(\overline{a_0 a_1 \cdots a_n})_g ,即

(a0a1an)g(\overline{a_0 a_1 \cdots a_n})_g =a0×gn=a_0 \times g^n +a1×gn1+a_1 \times g^{n-1} ++ \cdots +an1×g+ a_{n-1} \times g +an+ a_n

上述公式是gg 进制化十进制方法.


也说是说,gg 进制化十进制用乘法,反过来,十进制化gg 进制,用除法. 例如将十进制的2774化为八进制,作短除法运算:

2774=2774 = 5×835 \times 8^3 +3×82+3 \times 8^2 +2×8+ 2 \times 8 +6+6 =(5326)8=(5326)_8


也就是将余数从下往上写(5可以看作再除一次8所得的余数),便得出八进制中的数5326.



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